[BZOJ 3774] 最优选择 【最小割】

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题目分析

此题与“文理分科”那道题目有些类似。都是使用最小割来求解，先加上可能获得的权值，在减掉必须舍弃的权值（最小割）。

文理分科是规定每个人和 S 连就是选文，和 T 连就是选理。然后如果一个人和相邻的人都全文就会获得一个权值，那么我们就为这个权值建一个点，让这个点与必须同时选文的5个人连 INF 边。这样只要这 5 个人中有一个人选了理，就必须舍弃这个权值了。

再回到这道题目，这道题获得权值的条件是这个点被控制或这个点相邻的 4 个点都被控制。 这个“或”并不太好处理，我们就把这个条件拆成两个不相交的条件：

1)这个点被控制，可以获得权值。

2)这个点没有被控制且相邻的4个点都被控制，可以获得权值。

这样的话第一个条件就是不控制这个点需要付出的代价，第二个条件是“这个点没有被控制且相邻的4个点都被控制”，只要有一个点不符合就要割掉这个权值。

但是这些需要同时满足的条件有“被控制”和“不被控制”，直接用“文理分科”的建图方式是方向不一致的。

所以我们利用矩阵可以黑白染色成为二分图的性质，将矩阵的格子黑白染色之后，对于白点和黑点用相反的方式连边，这样黑点的“被控制”和白点的“不被控制”就是一个方向的了。

注意刚开始时预先加到答案里的权值是给定权值的两倍，因为我们将权值分成了两种情况。

代码

#include <iostream>
#include <cstdlib>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cmath>
#include <algorithm>

using namespace std;

inline int gmin(int a, int b) {return a < b ? a : b;}

const int MaxMap = 50 + 5, MaxN = 5000 + 5, MaxM = 100000 + 5, INF = 999999999;
const int Dx[5] = {0, 0, 1, -1}, Dy[5] = {1, -1, 0, 0};

int n, m, nm, Tot, Ans, S, T;
int f[MaxMap][MaxMap], A[MaxMap][MaxMap], B[MaxMap][MaxMap], d[MaxN], Num[MaxN];

struct Edge
{
	int v, w;
	Edge *Next, *Other;
} E[MaxM], *P = E, *Point[MaxN], *Last[MaxN];

inline void AddEdge(int x, int y, int z)
{
	Edge *Q = ++P; ++P;
	P -> v = y; P -> w = z;
	P -> Next = Point[x]; Point[x] = P; P -> Other = Q;
	Q -> v = x; Q -> w = 0;
	Q -> Next = Point[y]; Point[y] = Q; Q -> Other = P;
}

inline bool Inside(int x, int y)
{
	if (x < 1 || x > n) return false;
	if (y < 1 || y > m) return false;
	return true;
}
 
int DFS(int Now, int Flow)
{
	if (Now == T) return Flow;
	int ret = 0;
	for (Edge *j = Last[Now]; j; j = j -> Next)
		if (j -> w && d[Now] == d[j -> v] + 1)
		{
			Last[Now] = j;
			int p = DFS(j -> v, gmin(Flow - ret, j -> w));
			ret += p; j -> w -= p; j -> Other -> w += p;
			if (ret == Flow) return ret;
		}
	if (d[S] >= Tot) return ret;
	if (--Num[d[Now]] == 0) d[S] = Tot;
	++Num[++d[Now]];
	Last[Now] = Point[Now];
	return ret;
}

int main()
{
	scanf("%d%d", &n, &m);
	nm = n * m;
	for (int i = 1; i <= n; ++i)
		for (int j = 1; j <= m; ++j)
			f[i][j] = (i - 1) * m + j;
	for (int i = 1; i <= n; ++i)
		for (int j = 1; j <= m; ++j)
			scanf("%d", &A[i][j]);
	for (int i = 1; i <= n; ++i)
		for (int j = 1; j <= m; ++j)
		{
			scanf("%d", &B[i][j]);
			Ans += B[i][j] * 2;
		}
	Tot = 2 * nm; S = ++Tot; T = ++Tot;
	int x, y;
	for (int i = 1; i <= n; ++i)
		for (int j = 1; j <= m; ++j)
		{
			if ((i + j) & 1) 
			{
				AddEdge(f[i][j], T, A[i][j]); 
				AddEdge(S, f[i][j], B[i][j]);
				AddEdge(nm + f[i][j], T, B[i][j]);
				AddEdge(f[i][j], nm + f[i][j], INF);
				for (int k = 0; k < 4; ++k)
				{
					x = i + Dx[k]; y = j + Dy[k];
					if (!Inside(x, y)) continue;
					AddEdge(f[x][y], nm + f[i][j], INF);
				}
			}
			else 
			{
				AddEdge(S, f[i][j], A[i][j]);
				AddEdge(f[i][j], T, B[i][j]);
				AddEdge(S, nm + f[i][j], B[i][j]);
				AddEdge(nm + f[i][j], f[i][j], INF);
				for (int k = 0; k < 4; ++k)
				{
					x = i + Dx[k]; y = j + Dy[k];
					if (!Inside(x, y)) continue;
					AddEdge(nm + f[i][j], f[x][y], INF);
				}	
			}
		}
	memset(d, 0, sizeof(d));
	memset(Num, 0, sizeof(Num)); Num[0] = Tot;
	for (int i = 1; i <= Tot; ++i) Last[i] = Point[i];
	while (d[S] < Tot) Ans -= DFS(S, INF);
	printf("%d
", Ans);
	return 0;
}