贪心算法

贪心算法概念

　　根据局部最优解得到问题的整体最优解或整体最优解的近似解：只根据当前已有信息做当前最优选择（且选择了就不能改变）

能利用贪心算法解决的问题有2个特性

1.贪心选择

　　原问题的整体最优解可以通过一步一步的局部最优选择得到；

2.最优子结构

　　问题的最优解包含其子问题的最优解；

　　例如：北京-广州的最短路径问题（必须经过上海），则北京-上海、上海-广州的最短路径是问题的子问题，这个问题的最优解就必须考虑子问题北京-上海、上海-广州的最短路径的最优解

使用贪心算法的步骤

1.确定贪心策略（根据当前信息确定）

2.得到局部最优解

3.合成整体最优解

例子1——最优装载问题

问题描述：海盗船载重为load，每件宝贝的重量为w_i，海盗如何把尽可能多的宝贝装上海盗船？

贪心策略：每次选当前重量最轻的宝贝放上海盗船

算法设计：1.对宝贝重量进行排序；sort()函数接收2个参数或者3个参数，可对数组或者vector排序，2个参数分别为首指针和尾后指针，第3个参数可以是一个谓词，头文件<algorithm>

　　　　　2.按照贪心策略每次选当前最轻的宝贝，直到海盗船装不下，设置计数器，最后计数器的值就是最后装入海盗船的宝贝数量

例子2——部分的背包问题

问题描述：

　　背包载重为load，山洞中有n个宝贝，每个宝贝的重量为w_i，价值为v_i，单个宝贝可以分割，盗贼能盗取的最大价值是多少？

贪心策略：

　　因为单个宝贝可以分割，所以可以引入性价比，每次选当前性价比最高的宝贝放入背包

算法设计：

　　1.定义一个结构体，包含宝贝的重量、价值、性价比

　　2.按照贪心策略每次选当前性价比最高的宝贝，直到背包装不下完整宝贝，此时，将性价比最高的那个宝贝进行分割，装入分割宝贝，使背包刚好装满

注意：可分割的情况，所有数据请用double表示

代码实现：

struct item {
    double weight;
    double value;
    double ratio;
};

bool cmp(item& a, item& b)
{
    return a.ratio > b.ratio;
}

double partBag(vector<double>& weight, vector<double>& value, double load)
{
    int n = weight.size();
    vector<item> vec(n);
    for (int i = 0; i < n; ++i)
    {
        vec[i].weight = weight[i];
        vec[i].value = value[i];
        vec[i].ratio = value[i] / weight[i];
    }
    sort(vec.begin(), vec.end(), cmp);
    double curLoad = 0.0, maxiValue = 0.0, remainLoad = load;
    for (int i = 0; i < n; ++i)
    {
        if (remainLoad >= vec[i].weight)//全部装入
        {
            remainLoad -= vec[i].weight;
            maxiValue += vec[i].value;
        }
        else//部分装入
        {
            maxiValue += remainLoad*vec[i].ratio;
            break;
        }
    }
    return maxiValue;
}

测试例：

int main()
{
    vector<double> weight{ 4,2,9,5,5,8,5,4,5,5 }, value{ 3,8,18,6,8,20,5,6,7,15 };
    double load = 30.0;
    double maxiValue = partBag(weight, value, load);
    cout << "部分背包问题所能装的最大价值为：" << maxiValue << endl;

    return 0;
} 

例子3——会议安排问题

问题描述：如何在有限的时间内召开尽可能多的会议？

贪心策略：因为最早开始时间+持续时间最短=最早结束时间，所以每次选当前来看结束时间最早且不会与已有会议相冲突的会议

算法设计：1.定义一个结构体，包含会议的开始时间、结束时间

　　　　　2.对会议按结束时间排序

　　　　　3.按照贪心策略一步一步地选择会议，每安排上一个会议，便用变量last记录这个会议结束时间，下一次选择的会议的开始时间必须大于等于last