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  • 生成函数小结

    目录

      常见普通型生成函数

      常见指数型生成函数

      自然数幂和

      求数列$k$次方和


    常见普通型生成函数($OGF$)

       形如$F(x)=sum_{i=0}^{infty}f_ix^i$:

    $$egin{align*}
    &<1,0,0,cdots>[i==0]&1\
    &<1,1,1,cdots>1&frac{1}{1-x}\
    &<1,2,3,cdots>i&frac{1}{(1-x)^2}\
    &<1,-1,1,-1,cdots>(-1)^i&frac{1}{1-x}\
    &<0,1,frac{1}{2},frac{1}{3},cdots>frac{1}{i}(0<i)&-ln(1-x)\
    &<1,1,frac{1}{2},frac{1}{6},frac{1}{24},cdots>frac{1}{i!}&e^x\
    &<1,a,a^2,a^3,cdots>a^i&frac{1}{1-ax}\
    &<inom{n}{0},inom{n}{1},inom{n}{2},cdots>inom{n}{i}&(1+x)^n\
    &<inom{n-1}{0},inom{n}{1},inom{n+1}{2},cdots>inom{n-i+1}{i}&frac{1}{(1-x)^n}\
    &<0,a,frac{a^2}{2},frac{a^3}{3},cdots>frac{a^i}{i}(0<i)&-ln(1-ax)\
    end{align*}$$


    常见指数型生成函数($EGF$)

      形如$F(x)=sum_{i=0}^{infty}frac{f_i}{i!}x^i$:

    $$egin{align*}
    &<1,1,1,cdots>1&e^x\
    &<0,1,2,3,cdots>i&xe^x\
    &<1,a,a^2,a^3,cdots>a^i&e^{ax}\
    &<1,a,a^{underline{2}},a^{underline{3}},cdots>a^{underline{i}}&(1+x)^a\
    &<0,1,0,-1,0,1,0,-1,cdots>[2 mid i](-1)^{frac{i-1}{2}}&sin(x)\
    &<1,0,-1,0,1,0,-1,0,cdots>[2|i](-1)^{frac{i}{2}}&cos(x)\
    end{align*}$$


    自然数幂和

      伯努利数


     求数列$k$次方和

      给定数列$a$,对于任一$1 leqslant k leqslant m$求$sum_{i=1}^na_i^k$

      考虑其生成函数,则有:$$egin{align*}F(x)&=sum_{j=0}^{infty}sum_{i=1}^na_i^jx^j\&=sum_{i=1}^nsum_{j=0}^{infty}(a_ix)^j\&=sum_{i=1}^nfrac{1}{1-a_ix}\&=sum_{i=1}^n1+frac{a_ix}{1-a_ix}\&=n-xsum_{i=1}^nfrac{-a_ix}{1-a_ix}\&=n-xsum_{i=1}^nln'(1-a_ix)\&=n-xln'(prod_{i=1}^n(1-a_ix))end{align*}$$

      $prod_{i=1}^n(1-a_ix)$分治FFT即可

      $O(Nlog^2N)$

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  • 原文地址:https://www.cnblogs.com/Joker-Yza/p/12640624.html
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