快速排序

快速排序

本篇内容共分两部分：分而治之，快速排序。

分而治之（divide and conquer，D & C）——种著名得递归式问题解决办法。

快速排序是一种排序算法其速度比选择排序快得多。

1. 分而治之

首先，我们申明一下D&C的工作原理：

1. 找出简单的基线条件（跳出无限循环的条件）
2. 确定如何缩小问题的规模，使其符合基线条件

接下来通过一个例子来说明分而治之思想。

假设，我们求数组 [1, 2, 3] 所以元素的和，

我们首先使用循环来实现一下：

def sum(arr):
	total = 0
	for x in arr:
		total += x
	return total

接下来我们讲述用递归来实现。

1. 我们需要找出基线条件。既然我们要对数组求和，那么最简单的数组怎么样的呢？

   1. [ ] 空数组不包含任何一个元素，值为0
   2. [x] 包含一个元素x，值为x

   这就是基线条件。

2. 接下来的问题就是如何缩小问题的规模。

   sum([1,2,3]) = 6 --> 1 + sum([2,3]) --> 1 + 2 + sum([3])

   其工作原理类似如下：

   • 若列表为空，则返回零
   • 否则，返回出列表第一个数字以外的其他数字的和，将其与第一个数字相加，返回结果。

留下几个练习（答案在最后面）：

1. 请编写前述sum函数的代码
2. 编写一个递归函数来计算列表包含的元素个数
3. 找出列表的最大元素

2. 快速排序

通过前面的了解，我们可以知道，基线条件是数组为空或者只包含一个元素。在这种情况下，只需要返回数组——根本不用排序。

def quick_sort(arr):
	if len(arr) < 2:
		return arr

接下来，我们看看对两个元素的数组进行排序。

[1, 3] 我们检查第一个元素是否比第二个元素小，否则就交换位置。

如果是三个元素呢？ [2,1,3]

因为我们需要使用D&C，因此需要将数组进行分解，直到满足基线条件。下面介绍快速排序的工作原理。首先，从数组选择一个元素，这个元素被称为基准值（pivot），可以是数组的任何一个元素。

接下来，找出比基准值小的元素以及比基准值大的元素。

我们选择[2]为基准值，则 [1] [2] [3]。

这被称为分区。现在你有：

• [ ] 一个由所有小于基准值的数字组成的子数组
• [ ] 基准值
• [ ] 一个由所有大于基准值的数字组成的子数组

得到的两个子数组若是有序的，则可以合并成一个有序的数组。否则，就在子数组中按照以上方法继续执行，直到有序或者满足基线条件。

下面是代码：

def quick_sort(arr):
	if len(arr) < 2:
		return arr
	else:
		pivot = arr[0]
		less = [i for i in arr if i <= pivot]
		greater = [i for i in arr if i > pivot]
		return quick_sort(less) + [pivot] + quick_sort(greater)

答案

1. def sum(list):
   	if list = []:
   		return 0
   	else:
   		return list[0] + sum[list[1:]]
   

2. def count(list):
   	if list == []:
   		return 0
   	else:
   		return 1 + count(list[1:])
   

3. def max(list):
   	if len(list) == 2：
   		return list[0] if list[0] > list[1] else list[1]
   	sub_max = max(list[1:])
   	return list[0] if list[0] > sub_max else sub_max