给定平面上 (n) 个点 ((x_i, y_i)) ,求左下角右上角各有一个点,且内部没有其它点的矩阵个数
(nleq2 imes10^5) , (x_i) 互不相同, (y_i) 互不相同
cdq分治,单调栈,凸包
考虑cdq分治,去掉横坐标
对于区间 ([l, r]) ,统计左下角在 ([l, mid]) ,右上角在 ([mid + 1, r]) 的矩阵个数
对于 ([l, r]) 的点,按纵坐标降序考虑。维护 ([l, mid]) 横坐标递减、 ([mid + 1, r]) 横坐标递增的单调栈。其中 ([mid + 1, r]) 中不在单调栈上的点会被单调栈上的点包含。
当插入一个 ([l, mid]) 的点之后,贡献的答案不一定是整个 ([mid + 1, r]) 的单调栈,但是由于横坐标递增,可以二分出答案
时间复杂度 (O(nlog^2 n))
代码
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn = 2e5 + 10;
ll ans;
int n, t1, t2, s1[maxn], s2[maxn];
struct node {
int x, y;
inline bool operator < (const node &o) const {
return x < o.x;
}
} a[maxn], b[maxn];
inline bool pd(node a, node b) {
return b.x < a.x && b.y < a.y;
}
inline int calc(int x) {
int l = 1, r = t2, mid;
while (l < r) {
mid = (l + r) >> 1;
a[s2[mid]].y > x ? l = mid + 1 : r = mid;
}
return l - (!t2 || a[s2[l]].y < x);
}
void cdq(int l, int r) {
if (l == r) return;
int mid = (l + r) >> 1;
cdq(l, mid), cdq(mid + 1, r), t1 = t2 = 0;
for (int p = l, p1 = l, p2 = mid + 1; p <= r; p++) {
if (p2 > r || (p1 <= mid && a[p1].y > a[p2].y)) {
while (t1 && a[s1[t1]].x < a[p1].x) t1--;
if (t1) ans -= calc(a[s1[t1]].y);
s1[++t1] = p1, ans += t2, b[p] = a[p1++];
} else {
while (t2 && a[s2[t2]].x > a[p2].x) t2--;
s2[++t2] = p2, b[p] = a[p2++];
}
}
for (int i = l; i <= r; i++) {
a[i] = b[i];
}
}
int main() {
scanf("%d", &n);
for (int i = 1; i <= n; i++) {
scanf("%d %d", &a[i].x, &a[i].y);
}
sort(a + 1, a + n + 1), cdq(1, n);
printf("%lld", ans);
return 0;
}