拉格朗日插值法

https://www.cnblogs.com/zwfymqz/p/10063039.html

觉得把zwfymqz大佬的博客粘上来就差不多了

本博客比较浅显，适合入门粗学，具体深入的话就看 attack 大佬的博客（就是上面的链接）吧

拉格朗日的公式

首先拉格朗日插值法的公式附上：

$$A(k)=sum_{i=1}^{n} y_i prod_{j=1}^{n} dfrac{k-x_j}{x_i-x_j}$$

这个式子给出来肯定是先懵。没关系，谁看到这玩意儿不会懵呢？

拉格朗日的作用

解释一下，拉格朗日插值就是给你 n+1 个点，然后让你构造出一个符合这堆点练成的光滑图像的 n 次函数

说人话，就是给你 n+1 个点，让你构造出一个 n 次函数，使得这个函数的图像经过坐标轴上的 n+1 个点。

那么上面式子里面的 $x_i$ 以及 $y_i$ 就是一个点的坐标啦！

拉格朗日的分析

然后你自己验证一下就可以发现： 将原来的点带进去， A 函数输出的结果是符合这 n 个点的位置的。

为什么？ 因为如果你带的点是 i 的话，那么当 $sum$ 做到第 i 次时，后面的 $prod$ 算出来的是 1 ，$sum$的其余项都是 0

于是原式成立了，我们也可以拿它来计算别的 k 的函数值了

拉格朗日题的套路

至于这玩意儿拿来出题，无非就是裸题：

　　给你 n 个点以及正整数 k ，让你用 n 个点求一个函数图像并将 k 带入求值（当然不是真要你求出函数图像，输出答案就好了）

这种题目的做法要么就是暴力代入公式，$O(n^2)$ ，要么给你的 n 个点的横坐标是连续的，你可以利用这个性质优化到 $O(n)$ ，至于怎么优化嘛，想想阶乘之类的东西...（具体推导你可以考虑打开文头的链接）

至于另一种题型就是让你求 $sum_{i=1}^{n}i^k$ 的值了，这个东西为什么能用拉格朗日？他和上面讲的东西毫无关联啊！（你问我我问谁...）总之记好这玩意儿可以表示成一个 k+1 次多项式，然后就用 n 的值拿进去代就好了

做法么，自然就是枚举出前 k+2 个点，然后看看 n 是否大于 k+2，不大于的话直接出解了，大于的话就是用 k+2 个点跑拉格朗日，n 带入就好了。 并且由于这 k+2 个点的横坐标是连续的，你可以将计算优化到 $O(k)$

什么？为什么这 k 个点是连续的？ woc 这几个点是你自己选出来的前 k+2 个点啊！

但最后还是决定解释一下为什么 $A(n)=sum_{i=1}^{n}i^k$ 这玩意儿可以表示成一个 k+1 次函数

怎么说，我们考虑将 $i^k$ 表示为 $n-(n-i)^k$ ，懂了吧，将 $n-i$ 看做常数（况且 $n-i$ 在这个表达式中本来就是连续的数）然后展开一下就是一个 k 次多项式啦！

恩？ k 次？ 不是 k+1 次么？ emmm 我们考虑一下这里 $n^k$  的项其实总共有 n 项，加起来可不就是 $n*n^k=n^{k+1}$ 么？ 至于剩下的项次也是可以以此类推的...

（有兴趣的读者可以算一下哦，毕竟博主没有算过，算出来piapia 打脸的话还请读者在评论区中指出，但就算剩下的项无法整合成高一阶的项，这里多项式的最高次系数也已经是 k+1 ，满足 k+1 次函数的定义了）

神奇的重心拉格朗日

然后是某种骚操作，我是搞不大懂，拉格朗日前面加了个重心，说是优化，然后又说每加一个点的复杂度是 $O (n)$ 的（那加 n 个点的复杂度不还是 $n^2$ ?），也不知道真的假的...貌似真的

具体到图像上的实现的话有一个动图可以说明（不知道放到cnblogs上能不能动起来）：

怎么说呢...就是慢慢找点呗...

然后就 完 了 _(:з」∠)_

慢着？板子都不放一个的？

$$O(n^2)$$

//by Judge
//by young Judge
#include<iostream>
#include<cstdio>
#define ll long long
using namespace std;
const int M=2111;
const ll mod=998244353;
#ifndef Judge
#define getchar() (p1==p2&&(p2=(p1=buf)+fread(buf,1,1<<21,stdin),p1==p2)?EOF:*p1++)
#endif
char buf[1<<21],*p1=buf,*p2=buf;
inline ll read(){
    ll x=0,f=1; char c=getchar();
    for(;!isdigit(c);c=getchar()) if(c=='-') f=-1;
    for(;isdigit(c);c=getchar()) x=x*10+c-'0'; return x*f;
} int n; ll k,K,ans,x[M],y[M];
inline void AMOD(ll& a,ll& b){ a+=b; if(a>=mod) a%=mod; }
inline ll quick_pow(ll x,ll p,ll ans=1){
    while(p){
        if(p&1) ans=ans*x%mod;
        x=x*x%mod,p>>=1;
    } return ans;
}
int main(){
    n=read(),K=read();
    for(int i=1;i<=n;++i) x[i]=read(),y[i]=read();
    for(int i=1,j;i<=n;++i){ k=1;
        for(j=1;j<=n;++j) if(i!=j)
            k=k*(x[i]+mod-x[j])%mod;
        k=quick_pow(k,mod-2);
        for(j=1;j<=n;++j) if(i!=j)
            k=k*(K+mod-x[j])%mod;
        k=k*y[i]%mod,AMOD(ans,k);
    } return printf("%lld
",ans),0;
}

$$O(n)$$

//by Judge
#include<iostream>
#include<cstdio>
#define ll long long
using namespace std;
const int M=2111;
const ll mod=998244353;
#ifndef Judge
#define getchar() (p1==p2&&(p2=(p1=buf)+fread(buf,1,1<<21,stdin),p1==p2)?EOF:*p1++)
#endif
char buf[1<<21],*p1=buf,*p2=buf;
inline ll read(){
    ll x=0,f=1; char c=getchar();
    for(;!isdigit(c);c=getchar()) if(c=='-') f=-1;
    for(;isdigit(c);c=getchar()) x=x*10+c-'0'; return x*f;
} ll n,K,ans,x[M],y[M],s1[M],s2[M],ifac[M];
inline void ADD(ll& a,ll b){ a+=b; if(a>=mod) a%=mod; }
int main(){ n=read()-1,K=read(),s2[n+1]=ifac[0]=ifac[1]=1;
    for(int i=0;i<=n;++i) x[i]=read(),y[i]=read(); s1[0]=(K-x[i])%mod;
    for(int i=1;i<=n;++i) s1[i]=s1[i-1]*(K-x[i])%mod;
    for(int i=n;i>=1;--i) s2[i]=s2[i+1]*(K-x[i])%mod;
    for(int i=2;i<=n;++i) ifac[i]=(mod-mod/i)*ifac[mod%i]%mod;
    for(int i=2;i<=n;++i) ifac[i]=ifac[i]*ifac[i-1]%mod;
    for(int i=0;i<=n;++i)
        ADD(ans,1ll*y[i]*(i?s1[i-1]:1)%mod*s2[i+1]%mod*
            ifac[i]%mod*((n-i&1)?-1:1)*ifac[n-i]%mod);
    return !printf("%lld
",(ans+mod)%mod);
}

什么？要函数封装的？

ll lagrange(ll n,ll *x,ll *y,ll xi){ ll ans=0;
    s1[0]=(xi-x[0])mod,s2[n+1]=ifac[0]=ifac[1]=1;
    for(int i=1;i<=n;++i) s1[i]=s1[i-1]*(xi-x[i])%mod;
    for(int i=n;i>=0;--i) s2[i]=s2[i+1]*(xi-x[i])%mod;
    for(int i=2;i<=n;++i) ifac[i]=(mod-mod/i)*ifac[mod%i]%mod;
    for(int i=2;i<=n;++i) ifac[i]=ifac[i]*ifac[i-1]%mod;
    for(int i=0;i<=n;++i)
        ADD(ans,1ll*y[i]*(i?s1[i-1]:1)%mod*s2[i+1]%mod*
            ifac[i]%mod*((n-i&1)?-1:1)*ifac[n-i]%mod);
    return (ans+mod)%mod;
}

数论的东西，不懂没关系，看还是要看看的...