积性函数与卷积

不定期更新的说呢...

积性函数

积性函数的概念：

如果一个函数 (f(n)) 在 (a,b) 互质的情况下满足 (f(a*b)=f(a)*f(b))， 则称其为积性函数

举例：

(φ(n)) —— 欧拉函数 ！

(σ(n)) —— 约数和函数

(μ(n)) —— 莫比乌斯函数 ！

(σ_0(n)) —— 约数个数函数

(σ_k(n)) —— 约数次数和函数（其实上一个函数也可归为此类）

完全积性函数的概念：

如果一个函数 (f(n)) 对任意整数 (a,b) 满足 (f(a*b)=f(a)*f(b))， 则称其为完全积性函数

举例

(epsilon(n)) 单位元函数 （在 n 等于 1 的时候为 1 , 否则为 0 ）

(I(n)) 恒等函数 （就是永远等于 1 ，在卷积的时候经常会用到）

(id(n)) 单位函数 （值为本身）

(id^{k}(n)) 幂函数

狄利克雷卷积

卷积的符号为 (*) （很像乘号）

运算法则如下：

对于两个函数 (f,g)，他们的卷积(f*g(n))为 (sum_{d|n}f(d) imes g(dfrac{n}{d}))

其中 d|n 表示 d 能被 n 整除， n m 互质的话就是 (n⊥ m)

至于莫比乌斯反演我只晓得大概的概念，用也不会用...稍微讲讲

这里要用到莫比乌斯函数（下面会讲），莫比乌斯反演大概就是讲：

若两个函数 (f,g) 满足 (g(n)=sum_{d|n}f(d)) （即(f*I=g)），

则我们用 g 来求出 f ，方法如下：

[f(n)=sum μ(d) imes g(dfrac{n}{d}) ]

然鹅并不晓得运用（因为刷题少啊！）

好吧其实非常有用的地方就是数论分块（杜教筛）了

两个积性函数的卷积

两个积性函数的卷积必然是积性函数，这是一个定理...下面给出 proof：

若 f 、g 为两个积性函数， (n ⊥ m) （ n、 m 互质）

那么我们要证的就是 (f* g(n) · f* g(m) = f* g(nm))

根据定义有：

[f* g(n)=sum_{d|n} f(d)g({nover d}) ]

那么：

[f* g(n)~·f* g(m)=sum_{d|n} f(d)g({nover d}) sum_{d|m} f(d)g({mover d}) ]

[=sum_{d1|n} sum_{d2|m}f(d1)g({nover d1}) f(d2)g({mover d2}) ]

因为 (n⊥m) ，所以 (d1⊥d2)：

[=sum_{d1|n} sum_{d2|m}f(d1·d2)g({nover d1} · {mover d2}) ]

[=sum_{d|nm} f(d)g({nover d}) =f*g(nm) ]

证毕呢...

然后牢记一点，积性函数基本都是能线性筛出来的 0.0

关于欧拉函数 (φ)

欧拉函数就是对于 n ， 它的欧拉函数的值为 1~n 中与其互质的数的个数

它满足一个性质，就是 (φ*I=id)

证明？不是很会

其实证明方法很多，可以构造函数然后利用积性函数的性质加以证明

关于莫比乌斯函数 (μ)

这个东西满足一个性质，就是 (μ*I=e)

好了，说直白点就是：莫比乌斯函数是用来容斥的

当然，有的地方也得用到这个性质反过来的公式

关于除数函数 (σ_1)

这玩意儿能在线性筛的时候筛出来

首先我们考虑一个数约数和的公式：

[σ_1(n)=prod_{p∈prime} (1+p+p^2+p^3+...+p^{N_p}) ]

再写得简洁一点：

[sigma_1(n)=prod_{p∈prime} sum_{i=0}^{N_p}p^i ]

(N_p) 表示 n 中质因子的个数

这个公式就决定了该函数可以线性筛出来

推荐博文阅读：

https://lx-2003.blog.luogu.org/mobius-inversion

https://blog.csdn.net/u013632138/article/details/61623497

http://www.cnblogs.com/Colythme/p/9972264.html