Codeforces 712D: Memory and Scores

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给你两个人的分数a,b
然后两个人各自在[−k,k]之间随机等可能选，然后加到自己的分数上
然后t轮之后，第一个人分数比第二个人高的情况，有多少种

有一个暴力的O(k^2 t^2)的算法，很容易想到，可以利用前缀和的方法来进行优化，得到O(kt^2)的算法。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LL;

const int mod=1e9+7;
const int mid=100000;

int a,b,k,t;
LL dp[105][200005];
LL pre[200005];
LL ans;

int main()
{
    cin>>a>>b>>k>>t;
    dp[0][mid]=1;
    for(int i=1; i<=t; i++)
    {
        for(int j=0; j<=mid*2; j++)
            if(dp[i-1][j])        //判断是否会产生新的方案，是的话，就打上标记，再通过求前缀和得到新的dp[i][j] 
            {
                dp[i][j-k]=(dp[i][j-k]+dp[i-1][j])%mod;
                dp[i][j+k+1]=(dp[i][j+k+1]-dp[i-1][j]+mod)%mod;
            }
        for(int j=1; j<=mid*2; j++)
            dp[i][j]=(dp[i][j]+dp[i][j-1])%mod;    //至此，dp[i][j]表示经过i轮之后，一个人共选分为j-mid的方案数 
    }
    pre[0]=dp[t][0];
    for(int j=1; j<=mid*2; j++)
        pre[j]=(dp[t][j]+pre[j-1])%mod;        //pre[i]记录，一个人t轮之后所得分数<=j-mid的方案总数，这是一个前缀和 
    for(int j=b-a+1; j<=2*mid; j++)
        ans=(ans+1ll*dp[t][j]*pre[min(mid*2,j-(b-a+1))])%mod;    
    cout<<ans<<endl;
}