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    线性同余方程

    对于同余式 (axequiv b(mod m))

    我们可以得知 (mmid (ax-b))

    因此,设 (ax-b=-my)

    从而得到 (ax+my=b)

    由裴属定理,显然,方程有解的条件为 (gcd(a,m)mid b)

    若满足上述条件,且 (ax'+my'=gcd(a,m))

    则显然, (a({bover gcd(a,m)}x')+m({bover gcd(a,m)}y')=b)

    我们记 (x_0={bover gcd(a,m)}x',y={bover gcd(a,m)}y')

    (ax_0+my_0=b) 为该线性同余方程的一组解

    而考虑 (a(x_0-mz_0)+m(y_0+az_0)=ax_0-amz_0+my_0+amz_0=ax_0+my_0=b,z_0in Z)

    可发现,实际上,线性同余方程具有多组解:

    (egin{cases} x=x_0-mz_0 \ \ y=y_0+az_0 \ \ z_0in Z end{cases})

    线性同余方程的正数解

    求出 (x_0,y_0)

    (x) 取最小正整数时,若 (y) 仍娶不到正整数,则无解;否则就已经是满足了的一组解

    (x=x_0-lfloor{x_0over m} floorcdot m) 则可保证 (x) 为满足条件的最小正数

    故取 (z_0=lfloor{x_0over m} floor)

    因此 (y=y_0+lfloor{x_0over m} floorcdot a)

    即可进行判断

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  • 原文地址:https://www.cnblogs.com/JustinRochester/p/12407607.html
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