线性同余方程

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线性同余方程

对于同余式 (axequiv b(mod m))

我们可以得知 (mmid (ax-b))

因此，设 (ax-b=-my)

从而得到 (ax+my=b)

由裴属定理，显然，方程有解的条件为 (gcd(a,m)mid b)

若满足上述条件，且 (ax'+my'=gcd(a,m))

则显然， (a({bover gcd(a,m)}x')+m({bover gcd(a,m)}y')=b)

我们记 (x_0={bover gcd(a,m)}x',y={bover gcd(a,m)}y')

则 (ax_0+my_0=b) 为该线性同余方程的一组解

而考虑 (a(x_0-mz_0)+m(y_0+az_0)=ax_0-amz_0+my_0+amz_0=ax_0+my_0=b,z_0in Z)

可发现，实际上，线性同余方程具有多组解：

(egin{cases} x=x_0-mz_0 \ \ y=y_0+az_0 \ \ z_0in Z end{cases})

线性同余方程的正数解

求出 (x_0,y_0) 后

(x) 取最小正整数时，若 (y) 仍娶不到正整数，则无解；否则就已经是满足了的一组解

令 (x=x_0-lfloor{x_0over m} floorcdot m) 则可保证 (x) 为满足条件的最小正数

故取 (z_0=lfloor{x_0over m} floor)

因此 (y=y_0+lfloor{x_0over m} floorcdot a)

即可进行判断