常见迪利克雷卷积及其证明

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所有积性函数和 (oldsymbol varepsilon) 的卷积都为其本身

由定义可以直接得到

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(oldsymbol mu) 与 (oldsymbol I) 的卷积为 (oldsymbol varepsilon)

由定义可以直接得到

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(oldsymbol I) 与 (oldsymbol I) 的卷积为 (oldsymbol sigma_0)

(displaystyle (oldsymbol I*oldsymbol I)(n)=sum_{dmid n}oldsymbol I(d)cdot oldsymbol I({nover d})=sum_{dmid n}1cdot 1=sum_{dmid n}1=oldsymbol sigma_0(n))

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(oldsymbol I) 与 (oldsymbol {id}^k) 的卷积为 (oldsymbol sigma_k)

(displaystyle (oldsymbol I*oldsymbol {id}^k)(n)=sum_{dmid n}oldsymbol I({nover d})cdot oldsymbol {id}^k(d)=sum_{dmid n}1cdot d^k=sum_{dmid n}d^k=oldsymbol sigma_k(n))

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(oldsymbol sigma_k) 与 (oldsymbol mu) 的卷积为 (oldsymbol {id}^k)

(oldsymbol sigma_k*oldsymbol mu=oldsymbol {id}^k*oldsymbol I*oldsymbol mu=oldsymbol {id}^k*oldsymbol varepsilon=oldsymbol {id}^k)

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(oldsymbol varphi) 与 (oldsymbol I) 的卷积为 (oldsymbol {id})

考虑 (n) 个分数 ({1over n},{2over n},{3over n}cdots {n-1over n})

我们现在把它们能约分的都约分了，显然，约分过后的所有分母一定为 (n) 的因数

我们考虑分母为 (d) 的分数，它们的个数显然为： (displaystyle sum_{i=1}^n[{nover gcd(i,n)}=d]=sum_{i=1}^n[gcd(i,n)={nover d}])

那么有几个数字 (i) 满足 (gcd(i,n)={nover d}) 呢？

首先，我们可以知道，满足的数字一定是 (i={nover d}cdot k) 的形式，其中 (k) 是非负整数，因此 (k) 的范围是 (1)~(d)

所以个数为 (displaystyle sum_{k=1}^d[gcd({nover d}cdot k,n)={nover d}])

由于 (gcd) 的性质，易得到 (gcd({nover d}cdot k,{nover d}cdot d)={nover d}cdot gcd(k,d))

带进去即可得到个数为 (displaystyle sum_{k=1}^d[{nover d}cdot gcd(k,d)={nover d}]=sum_{k=1}^d[gcd(k,d)=1])

由定义可得， (displaystyle sum_{k=1}^d[gcd(k,d)=1]=oldsymbol varphi(d))

因此，分母为 (d) 的数个数为 (oldsymbol varphi(d)) 个

而把所有因数考虑起来，即为总分数个数 (n)

故 (displaystyle n=sum_{dmid n}oldsymbol varphi(d)=sum_{dmid n}oldsymbol varphi (d)cdot oldsymbol I({nover d}))

因此 (oldsymbol varphi*oldsymbol I=oldsymbol {id})

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(oldsymbol {id}) 与 (oldsymbol mu) 的卷积为 (oldsymbol varphi)

(oldsymbol {id}*oldsymbol mu=oldsymbol varphi*oldsymbol I*mu=oldsymbol varphi*oldsymbol varepsilon=oldsymbol varphi)

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(oldsymbol {id}) 与 (oldsymbol {id}) 的卷积为 (oldsymbol {id}cdot oldsymbol sigma_0)

(displaystyle (oldsymbol {id}*oldsymbol {id})(n)=sum_{dmid n}oldsymbol {id}(d)cdot oldsymbol {id}({nover d})=sum_{dmid n}dcdot {nover d}=sum_{dmid n}n=ncdot sum_{dmid n}1=(oldsymbol {id}cdot oldsymbol sigma_0)(n))

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(oldsymbol {id}^k) 与 (oldsymbol {id}^k) 的卷积为 (oldsymbol {id}^kcdot sigma_0)

(displaystyle (oldsymbol {id}^k*oldsymbol {id}^k)(n)=sum_{dmid n}oldsymbol {id}^k(d)cdot oldsymbol {id}^k({nover d})=sum_{dmid n}d^kcdot ({nover d})^k=sum_{dmid n}n^k=n^kcdot sum_{dmid n}1=(oldsymbol {id}^kcdot oldsymbol sigma_0)(n))

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(oldsymbol {id}^k) 与 (oldsymbol {id}^t(tgeq k)) 的卷积为 (oldsymbol {id}^kcdot sigma_{t-k})

(displaystyle (oldsymbol {id}^k*oldsymbol {id}^t)(n)=sum_{dmid n}oldsymbol {id}^k({nover d})cdot oldsymbol {id}^t(d)=sum_{dmid n}({nover d})^kcdot d^t=sum_{dmid n}n^kcdot d^{t-k}=n^kcdot sum_{dmid n}d^{t-k}=(oldsymbol {id}^kcdot oldsymbol sigma_{t-k})(n))

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任意完全积性函数 (oldsymbol g) 与积性函数 (oldsymbol fcdot oldsymbol g) 的卷积为 ((oldsymbol f*oldsymbol I)cdot oldsymbol g)

(displaystyle (oldsymbol g*(oldsymbol fcdot oldsymbol g) )(n)=sum_{dmid n}oldsymbol g({nover d})cdot oldsymbol f(d)cdot oldsymbol g(d)=sum_{dmid n}oldsymbol f(d)cdot oldsymbol g(n)=oldsymbol g(n)cdotsum_{dmid n}oldsymbol f(d)=oldsymbol g(n)cdotsum_{dmid n}oldsymbol f(d)cdot oldsymbol I({nover d})=( (oldsymbol f*oldsymbol I)cdot oldsymbol g)(n))

这个性质有一个弱化版：若对于积性函数 (oldsymbol g) 满足 (oldsymbol g({nover d})cdot oldsymbol g(d)=oldsymbol h(n),dmid n) 则 (oldsymbol g*(oldsymbol fcdot oldsymbol g)=(oldsymbol f*oldsymbol I)cdot oldsymbol h)

思路类似于上面，就不写了