积性函数的线性筛法

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积性函数的转移关系

对于当前筛到的正整数 (n) ,若 (fc_n) 表示其最小质因数， (p_i) 表示第 (i) 个因数，我们需要筛的积性函数命名为 (oldsymbol f)

那么，十分显然，对于 (p_i<fc_n) 时， (oldsymbol f(n imes p_i)=oldsymbol f(n)cdot oldsymbol f(p_i))

如果 (oldsymbol f(p_i)) 是一个关于 (p_i) （在对 (m) 取余意义下）的简单有理函数，则上述式子是可求的

简单有理函数可以理解为，简单多项式函数的商。简单多项式即多项式次数，相对筛的线性复杂度，可以视为常数的多项式

由于线性筛过程中会出现 (p_ileq fc_n) ，故我们还需要考虑 (p_i=fc_n) 时的情况：

考虑若 ({oldsymbol f(p^{k+1})over oldsymbol f(p^k)}=g(p),kgeq 1) 为一个关于 (p) 的简单函数，则可以通过

(oldsymbol f(n imes fc_n)=oldsymbol f({nover fc_n^k})cdot oldsymbol f(fc_n^{k+1})=oldsymbol f({nover fc_n^k})cdot g(fc_n)cdot oldsymbol f(fc_n^k)=oldsymbol f(n)cdot g(fc_n))

而快速的求出

故线性筛的条件为：

1. (oldsymbol f(p)) 需要为一个关于 (p) 的简单有理函数
2. (g(p)={oldsymbol f(p^{k+1})over oldsymbol f(p^k)},kgeq 1) 为一个关于 (p) 的简单函数

则线性筛的效果为：

(oldsymbol f(n imes p)=egin{cases} oldsymbol f(n)cdot oldsymbol f(p),p mid n \ \ oldsymbol f(n)cdot g(p),pmid n end{cases})

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线性筛的实现

首先我们需要构造好 (oldsymbol f) 与 (g) ，然后就可以通过上述式子快速实现线性筛了

inline int fp(int p){...}
inline int gp(int p){...}
int fc[MAXN],prime[MAXN],f[MAXN],cntprime;
void sieve(){
    f[1]=1;
    for(int i=2;i<=lim;i++){
        if(fc[i]==0){
            fc[i]=i;
            prime[++cntprime]=i;
            f[i]=fp(i);
        }
        for(int j=1;prime[j]<fc[i]&&prime[j]*i<=lim;j++){
            fc[i*prime[j]]=prime[j];
            f[i*prime[j]]=f[i]*f[prime[j]];
        }
        if(i*fc[i]<=lim){
            fc[i*fc[i]]=fc[i];
            f[i*fc[i]]=fc[i]*gp(fc[i]);
        }
    }
}

例如，当我们筛的为 (oldsymbol varphi) 时 (oldsymbol f(p)=p-1,g(p)=p)

筛 (oldsymbol mu) 时 (oldsymbol f(p)=-1,g(p)=0)

当然，后期还有的题目涉及到的积性函数不是常见积性函数，但其若能找到满足上述条件的 (oldsymbol f) 与 (g) ，仍可以用线性筛筛出