莫比乌斯反演的特例：欧拉反演与除数和反演

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除了正规的元函数反演，一些其它函数的反演也在莫比乌斯反演中用得较多，而且一定程度上可以加快反演的速度

欧拉反演

由 (oldsymbol varphi*oldsymbol I=oldsymbol {id}) 的性质推出 (displaystyle n=oldsymbol {id}(n)=sum_{dmid n}oldsymbol varphi(d)cdot oldsymbol I({nover d})=sum_{dmid n}oldsymbol varphi(d))

洛谷P1447 [NOI2010]能量采集

同样，设 (nleq m)

对于某个节点 ((x,y)) ，它与机器连线上的植物有 (gcd(x,y)-1) 个（不包括端点）

即 (k=gcd(x,y)-1) 故损失为 (2k+1=2gcd(x,y)-1)

故 (displaystyle ans=sum_{i=1}^nsum_{j=1}^m(2gcd(i,j)-1)=2sum_{i=1}^nsum_{j=1}^mgcd(i,j)-nm)

接下来，我们考虑 (displaystyle g=sum_{i=1}^nsum_{j=1}^mgcd(i,j)) 则 (ans=2g-nm)

这里使用欧拉反演 (displaystyle gcd(i,j)=sum_{dmid gcd(i,j)}oldsymbol varphi(d))

故 (displaystyle g=sum_{i=1}^nsum_{j=1}^msum_{dmid gcd(i,j)}oldsymbol varphi(d)=sum_{d=1}^noldsymbol varphi(d)sum_{i=1}^nsum_{j=1}^m[dmid iwedge dmid j]=sum_{d=1}^noldsymbol varphi(d)sum_{i=1}^n[dmid i]sum_{j=1}^m[dmid j]=sum_{d=1}^noldsymbol varphi(d)cdot (n/d)cdot (m/d))

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除数反演

由 (oldsymbol {id}^k*oldsymbol I=oldsymbol sigma_k) 的性质推出 (displaystyle oldsymbol sigma_k(n)=sum_{dmid n}oldsymbol {id}^k(d)cdot oldsymbol I({nover d})=sum_{dmid n}d^k)

洛谷P3935 Calculating

显然，所求为 (displaystyle sum_{i=l}^roldsymbol sigma_0(i))

设 (displaystyle S(n)=sum_{i=1}^noldsymbol sigma_0(i)) 则 (ans=S(r)-S(l-1))

考虑 (displaystyle S(n)=sum_{i=1}^noldsymbol sigma_0(i)=sum_{i=1}^nsum_{dmid n}d^0=sum_{d=1}^nsum_{i=1}^n[dmid i]=sum_{d=1}^n(n/d))