Codeforces Round #694 (Div. 2) D 题题解

《 离 散 数 学 学 疯 以 后 》

传送门

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【题目大意】

定义关系 (R) ，若 ( ext{lcm}(x,y)over gcd(x,y)) 为完全平方数，则 (x R y) 。

现给定长度为 (n) 的序列 (a) 。每次操作会将元素 (a_i) 替换为所有与之具有关系 (R) 的元素的乘积（包括它自己），即 (a_ileftarrow displaystyle prod_{a_i R a_j}a_j) 。

另外定义 (d_i) 表示与 (a_i) 具有关系 (R) 的元素的个数，定义序列的特征为 (d_i) 的最大值。

现有 (q) 个询问，每次询问给定 (w) ，输出 (w) 次操作后的序列的特征值。

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【分析】

(ecause ext{lcm}(x,y)={xyover gcd(x,y)})

( herefore { ext{lcm}(x,y)over gcd(x,y)}={xyover gcd(x,y)^2})

(ecause gcd(x,y)^2) 为完全平方数

( herefore {xyover gcd(x,y)^2}) 为完全平方数 (Leftrightarrow) (xy) 为完全平方数

即若 (xy) 为完全平方数，则 (x R y)

不难发现，关系 (R) 具有以下三个特性：

1. 自反性：(x^2) 为完全平方数 (Rightarrow) (x R x)
2. 对称性：(x R y) (Rightarrow) (xy) 为完全平方数 (Rightarrow) (y R x)
3. 传递性：(x R ywedge y R z) (Rightarrow) (xy,yz) 为完全平方数 (Rightarrow) (xzy^2=xycdot yz) 为完全平方数
   (ecause y^2) 为完全平方数 ( herefore xz) 为完全平方数 (Rightarrow) (x R z)

因此关系 (R) 为等价关系，能将序列 (a) 分为若干等价类

因此，序列的特征等价于所有等价类大小的最大值；每次操作相当于将等价类内部的元素，替换成等价类所有元素的乘积

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对于一个等价类 (P) ，由唯一质数分解定理，一定存在一个各质因子次数都不大于 (1) 的数 (r) ，使得 (forall xin Pleftrightarrow (exist nin Nwedge x=rcdot n^2))

证明：设 (exist x,yin P,nin Nwedge x=rcdot n^2)

(ecause xy=rycdot n^2) 为完全平方数，(n^2) 为完全平方数

( herefore ry) 为完全平方数

(ecause r) 各质因子次数不大于 (1)

( herefore y=rcdot m^2,min N)

因此各等价类可由各自的 (r) 作为其特征

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对于一个等价类 (P) ，若 (|P|) 为偶数，则一次变化后，特征 (r) 变为 (1) ；若 (|P|) 为奇数，则一次变化后，特征 (r) 不变

因此，第一次操作前，序列的特征为最大的等价类

第一次操作后，原长度为偶数的等价类与原特征为 (1) 的等价类合并，原长度为奇数的等价类不变；序列的特征或为原长度为偶数的等价类大小，与原特征为 (1) 的等价类大小之和，或为长度为奇数的等价类大小

第二次操作及之后，等价类不再发生变化，答案不变

故仅需预处理第一次变化前的各等价类大小，即可预处理出第一次操作前后的答案，从而得出所有答案

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【代码】

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int MAXN=3e5+10;
int N;
map<int,int> m;
inline void work(){
    m.clear();
    cin>>N;
    for(int i=1;i<=N;i++){
        int A;
        cin>>A;
        for(int j=2;j*j<=A;j++)//找出对应的 r
            while(A%(j*j)==0) A/=j*j;
        ++m[A];//记录至等价类
    }
    int Ans0=0,Ansodd=0,Ans1=0;
    for(auto e : m){
        Ans0=max(Ans0,e.second);//等价类大小最大值，w=0时的答案
        if(e.second&1) Ansodd=max(Ansodd,e.second);//等价类大小为奇数的最大值
        else Ans1+=e.second;//第一次操作后，等价类大小为偶数的合并
    }
    if(m[1]&1) Ans1+=m[1];//特征为 1 的等价类还未合并
    Ans1=max(Ans1,Ansodd);//w>0 时的答案

    ll Q,W;
    cin>>Q;
    while(Q--&&cin>>W)
        if(W) cout<<Ans1<<"
";
        else cout<<Ans0<<"
";
}
int main(){
    ios::sync_with_stdio(0);
    cin.tie(0); cout.tie(0);
    int T;
    cin>>T;
    while(T--) work();
    cout.flush();
    return 0;
}