题解 luogu P3715 [HAOI2015]按位或

传送门

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【分析】

由拓展 min-max 容斥得：(displaystyle ext{k-thmax}(S)=sum_{Tsubseteq S}(-1)^{|T|-k}inom {|T|-1}{k-1}min(S))

故本题认为 (max(S)) 表示选择若干个数字或起来后，数字 (S) 的最后一位出现时间的随机变量

同理，(min(S)) 表示选择若干个数字或起来后，数字 (S) 的第一位出现时间的随机变量

故 (displaystyle E(max(S))=sum_{varnothingsubset Tsubseteq S}(-1)^{|T|-1}E(min(S)))

而 (P(min(S)=k)) 表明前 ((k-1)) 次选择的数字都与 (S) 不交，且第 (k) 次的有交

(egin{aligned} herefore P(min(S)=k)&=(sum_{Tcap S=varnothing} p_T)^{k-1}cdot (sum_{Tcap S eqvarnothing} p_T) \&=(sum_{Tcap S=varnothing} p_T)^{k-1}cdot (1-sum_{Tcap S=varnothing} p_T) \&=(sum_{Tcup ar S=ar S} p_T)^{k-1}cdot (sum_{Tcup ar S=ar S} p_T) end{aligned})

而 (displaystyle sum_{Tcup S=S} p_T) 即是对 ({p_T}) 进行高维前缀和后的结果 ({hat p_T})

因此 (P(min(S)=k)=hat p_{ar S}^{k-1}cdot (1-hat p_{ar S}))

(egin{aligned} herefore E(min(S)=k)&=sum_{k=1}^{infty} khat p_{ar S}^{k-1}cdot (1-hat p_{ar S}) \&=(1-hat p_{ar S})cdot [{ ext dover ext dx}(sum_{k=1}^infty x^k)]_{x=1-hat p_{ar S}} \&=(1-hat p_{ar S})cdot [{ ext dover ext dx}({1over 1-x})]_{x=1-hat p_{ar S}} \&=(1-hat p_{ar S})cdot [{1over (1-x)^2}]_{x=1-hat p_{ar S}} \&={1over 1-hat p_{ar S}} end{aligned})

跑完 FWT 之后直接按上面公式枚举即可

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【代码】

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef pair<ll, ll> pii;
typedef double db;
#define fi first
#define se second

inline int sgn(db x) { return (x>1e-6)-(x<-1e-6); }

template<class T>
void FWT(T *a, int len, int o=1) {
    T x, y;
    for(int k=0; 1<<k<len; ++k) for(int i=0, j;i<len;++i) if(~i>>k&1) {
        j=i^(1<<k);
        x=a[i], y=a[i]+a[j];
        if(o==-1) y=a[j]-a[i];
        a[i]=x, a[j]=y;
    }
}

int n;
db p[1<<20];
int main(){
    ios::sync_with_stdio(0);
    cin.tie(0); cout.tie(0);
    cin>>n;
    for(int i=0;i<1<<n;++i) cin>>p[i];
    FWT(p, 1<<n, 1);

    bool flag=0;
    db res=0;
    for(int i=1;i<1<<n;++i) 
        if( sgn(1-p[i^((1<<n)-1)])==0 ){
            flag=1;
            break;
        }
        else if(__builtin_popcount(i)&1) res+=1/(1-p[i^((1<<n)-1)]);
        else res-=1/(1-p[i^((1<<n)-1)]);
    if(flag) cout<<"INF";
    else cout<<fixed<<setprecision(9)<<res;
    cout.flush();
    return 0;
}