【HAOI2015】树上染色—树形dp

【HAOI2015】树上染色

【题目描述】
有一棵点数为N的树，树边有边权。给你一个在0~N之内的正整数K，你要在这棵树中选择K个点，将其染成黑色，并将其他的N-K个点染成白色。将所有点染色后，你会获得黑点两两之间的距离加上白点两两之间距离的和的收益。问收益最大值是多少。
【输入格式】
第一行两个整数N,K。
接下来N-1行每行三个正整数fr,to,dis，表示该树中存在一条长度为dis的边(fr,to)。输入保证所有点之间是联通的。
【输出格式】
输出一个正整数，表示收益的最大值。
【输入样例1】
3 1
1 2 1
1 3 2
【输出样例1】
3
【输入样例2】
5 2
1 2 3
1 5 1
2 3 1
2 4 2
【输出样例2】
17
【样例解释】
在第二个样例中，将点1,2染黑就能获得最大收益。
【数据范围】
对于30%的数据，N<=20
对于50%的数据，N<=100
对于100%的数据，N<=2000,0<=K<=N。 

题解：

这题一看就是dp，单个点无法产生贡献，只能是两个黑点或两个白点才能产生贡献

如果我们dp围绕点来进行，首先你无法定义一种状态，其次你不方便转移

所以我们考虑一条边能产生的贡献

首先一条边能产生的贡献为：

　　　Wi=dis×((这条边左边的黑点×这条边右边的黑点)+(这条边左边的白点×这条边右边的白点))

我们考虑一对点产生的贡献，这一条边L左侧的黑点要想连接L右侧的黑点，必定经过L，所以L会有贡献

有几对这样的黑点，边L就被经过几次，白点同理，所以得到了上面的方程

我们设f[i][j]表示以i为根节点的子树中染j个黑点的最大收益，

size[x]表示以x为根的子树大小，目标：f[1][k];

设当前搜索到以x为根的子树，设son为x的一个儿子，则：

　　$f[x][j]=max(f[x][p]+f[son][j-p]+Wi),$

　　$j<=min(size[x],k),p<=min(size[son],k)$

Wi表示x与son所连边产生的贡献，在上面已经解释过了

更新f的时候，如果正着推，就需要把f存到一个临时数组里;循环完后再赋值给f，如果倒着枚举直接更新就好了

当然你还可以减少枚举的数量，即j<=min(size[x],k),p<=min(size[son],k)。

下面给出两份代码：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#define ll long long
#define MAXN 2005
using namespace std;
ll n,k;
ll fr[MAXN<<1],to[MAXN<<1],nxt[MAXN<<1],pre[MAXN],cnt=0,dis[MAXN<<1];
void add(ll u,ll v,ll w){
    cnt++,fr[cnt]=u,to[cnt]=v,nxt[cnt]=pre[u],pre[u]=cnt,dis[cnt]=w;
}
ll f[MAXN][MAXN],temp[MAXN],size[MAXN];
void dfs(ll x,ll fa){
    size[x]=1;
    for(ll i=pre[x];i;i=nxt[i]){
        ll y=to[i];
        if(y==fa) continue;
        dfs(y,x);
        ll num_b1=min(k,size[x]),num_b2=min(k,size[y]),l;
        memset(temp,0,sizeof(temp));
        for(ll j=0;j<=num_b1;j++){
            for(ll p=0;p<=num_b2&&p+j<=k;p++){
                l=dis[i]*((k-p)*p+(size[y]-p)*(n-k-size[y]+p));
                temp[j+p]=max(temp[j+p],f[x][j]+f[y][p]+l);
            }
        }
        ll m=min(num_b1+num_b2,k);
        for(ll j=0;j<=m;j++)
            f[x][j]=temp[j];
        size[x]+=size[y];
    }
}
int main(){
    scanf("%lld%lld",&n,&k);
    for(ll i=1,u,v,d;i<n;i++){
        scanf("%lld%lld%lld",&u,&v,&d);
        add(u,v,d),add(v,u,d);
    }
    dfs(1,0);
    printf("%lld
",f[1][k]);
    return 0;
}

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#define ll long long
#define MAXN 2005
using namespace std;
ll n, k;
ll to[MAXN << 1], nxt[MAXN << 1], pre[MAXN], cnt = 0, dis[MAXN << 1];
void add(ll u, ll v, ll w) { cnt++, to[cnt] = v, nxt[cnt] = pre[u], pre[u] = cnt, dis[cnt] = w; }
ll f[MAXN][MAXN], temp[MAXN][MAXN], size[MAXN];
void dfs(ll x, ll fa) {
    size[x] = 1;
    for (ll i = pre[x]; i; i = nxt[i]) {
        ll y = to[i];
        if (y == fa)
            continue;
        dfs(y, x);
        ll num_b1 = min(k, size[x]), l;
        for (ll j = num_b1; j >= 0; j--) {
            ll num_b2 = min(k - j, size[y]);
            for (ll p = num_b2; p >= 0; p--) {
                l = dis[i] * ((k - p) * p + (size[y] - p) * (n - k - size[y] + p));
                f[x][j + p] = max(f[x][j + p], f[x][j] + f[y][p] + l);
            }
        }
        size[x] += size[y];
    }
}
int main() {
    scanf("%lld%lld", &n, &k);
    for (ll i = 1, u, v, d; i < n; i++) {
        scanf("%lld%lld%lld", &u, &v, &d);
        add(u, v, d), add(v, u, d);
    }
    dfs(1, 0);
    printf("%lld
", f[1][k]);
    return 0;
}