数据结构——B-树

数据结构——B-树

这个笔记为B树自在人心，看不懂，我当场把这个树吃掉！的概括.

概念

B-树可以理解为平衡二叉树的拓展, 它也是平衡的, 但是每个节点可以有多个关键字. 'B' 后面的 '-' 不是减号.

下面是一棵 B-树的例子:

B-树的存储结构

[egin{array}{|c|c|c|c|c|c|} hline mathrm{n} & ext { Key }_1 & ext { Key }_{2} & ldots & ext { Key}_{n-1} & ext { Key}_n \ hline mathrm{p}_{0} & mathrm{p}_{1} & mathrm{p}_{2} & ldots & mathrm{p}_{n-1} & mathrm{p}_n \ hline end{array} ]

其中, n 为当前结点关键字个数, ( ext{p}_i) 是指向孩子结点的指针.

性质

对于 m 阶 B-树:

1. 每个结点至多有 m 个分支 (度数最多为 m), 而最少分支数要分情况:
   • 根结点: 最少为 2.
   • 非根非失败结点: 最少为 (lceil m/2 ceil) (即m/2) 向上取整.
2. 有 n 个分支的结点有 n-1 个关键字, 按递增顺序排列.
3. 结点内的各个关键字互不相等.
4. 失败结点位于同一层, 可以用空指针表示, 是查找失败到达的位置. 入上图中下面的小长方形表示的结点.
5. ( ext{p}_i) 所指向的结点的所有关键字小于( ext{Key}_{i+1}) 大于( ext{Key}_{i}) .

注意: 严格来讲, B-树的阶数不是指含有最多关键字结点的度数.

有争议的问题: B-树的高度是否应该包含失败结点? 此处认为是不包括的.

常用操作

查找

​ 当关键字数不是很多的时候, 可以使用顺序查找, 否则可使用二分查找.

插入(以 5 阶 B-树为例)

删除(以 5 阶 B-树为例)

• 直接删除, 位于终端, 且删除后该结点的关键字数仍然大于等于 (lceil m/2 ceil)

  

• 非终端结点:用左子树最大关键字或者右子树最小关键字取代.

  选择关键字数大于 (lceil m/2 ceil) 的子结点进行取代.

  

• 当删除后关键字数小于 (lceil m/2 ceil) , 父结点关键码下移, 兄弟结点关键码上移, 上移关键码位置的子树指针移动到被删关键码位置

  

• 若该结点和左右兄弟关键字数都达到下限, 此时合并. 原则上选择较少关键字数目的结点进行合并.