BZOJ 3131 SDOI2013 淘金 数位dp

原题链接：http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=3131

题意没什么好概述的。。。。。

首先从题目对数的每一位进行相乘的操作以及N的范围可以看出来估计和数位dp有关系。

先考虑一维的情况。可以发现一个数的每一位相乘得到的数字质因数只有2,3,5,7，并且带有0的数字是没有贡献的，同时我们可以简单证明对于题目中的函数f(x)一定有f(x)<x，也即是说所有的f(x)都是在向1靠拢，具体到哪里取决于这个数的质因数。

于是可以令f(i,a,b,c,d,0/1)表示当前考虑第i位（这次我从高到低实现的），已经考虑的数中有多少个的数位乘积为2^a * 3^b * 5^c * 7^d，有无限制。

方程很好写，注意特判一下当前位数不是N的位数的时候最高位的情况，注意初始化状态是有限制的。查找答案直接暴力扫一遍就可以了。

二维？可以发现由于这是个正方形，行列信息实际上本质是一样的，同时不难发现格子(x,y)中的金子数量最终是f(0,x的质因数分解)*f(0,y的质因数分解)。

再一想，这是个多路归并！

上一个优先队列，问题圆满解决。

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<queue>
#include<set>
#include<map>
#include<vector>
#include<cctype>
using namespace std;
typedef unsigned long long LL;
const int mo=1000000007;

LL N,K,f[15][40][27][14][14][2],A[40*27*14*14];
int cnt;
struct data{ int p1,p2; LL v; };
struct cmp{
    bool operator () (data x,data y){
        return x.v<y.v;
    }
};
priority_queue<data,vector<data>,cmp>pq;

void dev(int x,int *t)
{
    if(!x) return;
    while(x!=1&&x%2==0) x/=2,t[0]++;
    while(x!=1&&x%3==0) x/=3,t[1]++;
    while(x!=1&&x%5==0) x/=5,t[2]++;
    while(x!=1&&x%7==0) x/=7,t[3]++;
}
void dp()
{
    int up=0,n[20]={0},tt[10][4]={0}; LL tmp=N;
    n[up++]=tmp%10,tmp/=10;
    while(tmp) n[up++]=tmp%10,tmp/=10;
    for(int i=0;i<10;i++) dev(i,tt[i]);
    f[up][0][0][0][0][1]=1;
    for(int i=up-1;i>=0;i--)
    for(int x=1;x<10;x++){
        int *t=tt[x];
        for(int p1=t[0];p1<=(up-i)*3;p1++)
        for(int p2=t[1];p2<=(up-i)*2;p2++)
        for(int p3=t[2];p3<=up-i;p3++)
        for(int p4=t[3];p4<=up-i;p4++){
            f[i][p1][p2][p3][p4][0]+=f[i+1][p1-t[0]][p2-t[1]][p3-t[2]][p4-t[3]][0];
            if(x<n[i]) f[i][p1][p2][p3][p4][0]+=f[i+1][p1-t[0]][p2-t[1]][p3-t[2]][p4-t[3]][1];
            if(x==n[i]) f[i][p1][p2][p3][p4][1]+=f[i+1][p1-t[0]][p2-t[1]][p3-t[2]][p4-t[3]][1];
        }
        if(i!=up-1) f[i][t[0]][t[1]][t[2]][t[3]][0]++;
    }
}
void work()
{
    cin>>N>>K;
    dp();
    for(int p1=0;p1<37;p1++)
    for(int p2=0;p2<25;p2++)
    for(int p3=0;p3<13;p3++)
    for(int p4=0;p4<13;p4++){
        if(f[0][p1][p2][p3][p4][0]+f[0][p1][p2][p3][p4][1])
            A[cnt++]=f[0][p1][p2][p3][p4][0]+f[0][p1][p2][p3][p4][1];
    }
    sort(A,A+cnt);
    for(int i=0;i<cnt;i++)
        pq.push((data){i,cnt-1,A[i]*A[cnt-1]});
    data t;
    int ans=0;
    for(int k=1;k<=K;k++){
        if(pq.empty()) break;
        t=pq.top(); pq.pop();
        ans=(ans+t.v%mo)%mo;
        if(t.p2) pq.push((data){t.p1,t.p2-1,A[t.p1]*A[t.p2-1]});
    }
    printf("%d
",ans);
}
int main()
{
    work();
    return 0;
}