BZOJ 4004 JLOI2015 装备购买 高斯消元+线性基

题目链接：http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=4004

Description

脸哥最近在玩一款神奇的游戏，这个游戏里有 n 件装备，每件装备有 m 个属性，用向量zi(aj ,.....,am) 表示(1 <= i <= n; 1 <= j <= m)，每个装备需要花费 ci，现在脸哥想买一些装备，但是脸哥很穷，所以总是盘算着怎样才能花尽量少的钱买尽量多的装备。

对于脸哥来说，如果一件装备的属性能用购买的其他装备组合出（也就是说脸哥可以利用手上的这些装备组合出这件装备的效果），那么这件装备就没有买的必要了。严格的定义是，如果脸哥买了 zi1,.....zip这 p 件装备，那么对于任意待决定的 zh，不存在 b1,....,bp 使得 b1zi1 + ... + bpzip = zh（b 是实数），那么脸哥就会买 zh，否则 zh 对脸哥就是无用的了，自然不必购买。

举个例子,z1 =(1; 2; 3);z2 =(3; 4; 5);zh =(2; 3; 4)，b1 =1/2，b2 =1/2，就有 b1z1 + b2z2 = zh，那么如果脸哥买了 z1 和 z2 就不会再买 zh 了。脸哥想要在买下最多数量的装备的情况下花最少的钱，你能帮他算一下吗？

Input

第一行两个数 n;m。接下来 n 行，每行 m 个数，其中第 i 行描述装备 i 的各项属性值。接下来一行 n 个数，其中 ci 表示购买第 i 件装备的花费。

Output

一行两个数，第一个数表示能够购买的最多装备数量，第二个数表示在购买最多数量的装备的情况下的最小花费。 

Sample Input

3 3
1 2 3
3 4 5
2 3 4
1 1 2

Sample Output

2 2

HINT

如题目中描述，选择装备 1 装备 2，装备 1 装备 3，装备 2 装备 3 均可，但选择装备 1 和装备 2 的花费最小，为 2。

对于 100% 的数据:1 <= n;m <= 500,0 <= aj <= 1000.

 

 

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题意概述：

·给出N个M维向量，选择向量i花费代价ci。求一个包含向量最多的线性无关组，使得选择这个无关组的代价最小。

·N,M<=500,ai<=1000（话说ci呢？）

分析：

·可以把向量看成一个多元一次方程。如果一些方程相关，那么这些方程可以互相表示。

·考虑高斯消元过程，发现最终系数为0的方程能够被上面的一些方程表示出来，换言之不为0的向量一旦和这些向量相组合就不是线性无关，不符合要求。最终高斯消元剩下的非0的方程数量就是这个集合中的线性无关组数量。即一个向量集和的线性不相关向量数量是唯一确定的，并且和高斯消元后非0向量的数量相同。（可以YY两个线性相关向量集合在一起变成一个新集合的情况）

·解决了最大购买数的问题，那么最小代价？

·贪心，把所有的向量按照权值从小到大排序，然后直接消元，遇到当前向量关键维度的值为0的时候选择还没有考虑的向量中权值最小的那个作为现在的关键字，延后考虑当前向量。有了上面第一问的分析之后这个贪心显然是正确的。具体实现搞个链表什么的。

·最坑的地方还是精度......最后看精度没救了强行上了逆元来进行模意义下的运算，然而这好像就步入了玄学的领域......为了不冲突就只能在比较大的mo意义下搞事情然而有点慢啊......

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<queue>
#include<set>
#include<map>
#include<vector>
#include<cctype>
using namespace std;
const int maxn=505;
const int mo=1000000007;
typedef long long LL;

int N,M,C[maxn],next[maxn];
struct data{
    int id,v;
    friend bool operator < (data x,data y){
        return x.v<y.v;
    }
}D[maxn];
int A[maxn][maxn];

void data_in()
{
    scanf("%d%d",&N,&M);
    int x;
    for(int i=1;i<=N;i++)
    for(int j=1;j<=M;j++)
        scanf("%d",&A[i][j]);
    for(int i=1;i<=N;i++) scanf("%d",&C[i]);
}
void exgcd(LL a,LL b,LL &d,LL &x,LL &y)
{
    if(!b) d=a,x=1,y=0;
    else exgcd(b,a%b,d,y,x),y-=(a/b)*x;
}
int inv(int a)
{
    LL x=0,y=0,d=0; exgcd(a,mo,d,x,y);
    return x;
}
int Gauss()
{
    int p=next[0],i=1,last=0;
    while(p&&i<=M){
        if(!A[p][i]){
            int pp,_last=p;
            for(pp=next[p];pp;_last=pp,pp=next[pp]) if(A[pp][i]) break;
            if(!pp){ i++; continue; }
            next[_last]=next[pp],next[last]=pp,next[pp]=p;
            p=pp;
        }
        for(int pp=next[p];pp;pp=next[pp]){
            int t=1ll*A[pp][i]*inv(A[p][i])%mo;
            for(int j=i;j<=M;j++)
                A[pp][j]=(A[pp][j]-1ll*A[p][j]*t%mo+mo)%mo;
        }
        last=p,p=next[p],i++;
    }
    return p;
}
void work()
{
    for(int i=1;i<=N;i++) D[i]=(data){i,C[i]};
    sort(D+1,D+N+1);
    int p=0;
    for(int i=1;i<=N;i++) next[p]=D[i].id,p=D[i].id;
    next[p]=0;
    int P=Gauss(),ans1=0,ans2=0;
    for(p=next[0];p!=P;p=next[p]) ans1++,ans2+=C[p];
    printf("%d %d
",ans1,ans2);
}
int main()
{
    data_in();
    work();
    return 0;
}