矩阵快速幂&T1

T1

知识储备

在写这一题之前,我们首先要了解矩阵乘法(我就是因为不懂弄了好久...)

矩阵的运算()-----(信息学奥赛一本通之提高篇)

矩阵的加法减法是十分简单的,就是把2个矩阵上对应的位置相加减

矩阵乘法

1.我们要满足A矩阵的列数和B矩阵的行数相等

2.如果A是一个n*r的矩阵,B是一个r*m的矩阵,那么A和B的乘积C是一个n*m的矩阵

3.C_i,j=a_i,1*b_1,j+a_i,2*b_2,j+a_i,3*b_3,j+...+a_i,r*b_r,j;

由以上我们要得出一个重要的结论,就是:矩阵乘法满足结合律即A*B+A*C=A*(B+C)

方阵乘幂

A是一个方阵,将A连成n次,即:C=Aⁿ

如果不是方阵就不能进行乘幂运算,然后由我们上面得出来的矩阵乘法满足结合律,因此我们可以用快速幂的方法求解解

矩阵乘法的应用

1.通过状态矩阵和状态转移矩阵相乘可以快速得到一次DP的值

2.求矩阵相乘的结果是要做很多次乘法,这样的效率非常慢甚至不如原来的DP转移.所以我们可以先算后面的转移矩阵,并将其与初始矩阵相乘得到结果,算法的时间复杂度为log(n)级别

矩阵快速幂

恩恩,直接上代码

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define FOR(i,a,b) for(register ll i=a;i<=b;i++)
#define ROF(i,a,b) for(register ll i=a;i>=b;i--)
using namespace std;
const ll Mod=1e9+7;
ll n,k;
struct s1
{
    ll a[101][101];
}b,c,e,s;
ll scan()
{
    ll as=0,f=1;
    char c=getchar();
    while(c>'9'||c<'0'){if(c=='-') f=-1;c=getchar();}
    while(c>='0'&&c<='9'){as=(as<<3)+(as<<1)+c-'0';c=getchar();}
    return as*f;
}
s1 sol(s1 x,s1 y)
{
    memset(c.a,0,sizeof(c.a));
    FOR(i,1,n)
    {
        FOR(j,1,n)
        {
            FOR(k,1,n)
            {
                c.a[i][j]=(c.a[i][j]+(x.a[i][k]%Mod)*(y.a[k][j]%Mod))%Mod;
                
            }
        }
    }
    return c;
}
s1 ksm(s1 x,ll y)
{
    s1 s=e;
    while(y)
    {
        if(y%2==1) s=sol(s,x);
        x=sol(x,x);
        y=y/2;
    }
    return s;
}
int main()
{
    n=scan();k=scan();
    FOR(i,1,n)
        FOR(j,1,n)
        b.a[i][j]=scan();
    FOR(i,1,n) e.a[i][i]=1;//这个是用来保护的,就是原矩阵和其相乘后不变
    s1 ans=ksm(b,k);
    FOR(i,1,n)
    {
        FOR(j,1,n)
        {
            cout<<ans.a[i][j]%Mod<<" ";
        }cout<<endl;
    }
    return 0;
}

然后知道矩阵快速幂之后我们就要来将今天这道题目了

思路

1.运用递推的方式求

首先让我们一步一步的分析

f[i]代表的是从A+A^2+...+A^i的总和,然后我们就要去推递推式f[i]=A*f[i-1]+A;

即[f[i-1],A]*{{A,0}{I,I}};(I是单位1)

我们把{{A,0}{I,I}}看做一个常量k,然后利用快速幂求解f[n];

恩恩恩...看代码吧....

2.二分求和的一个思想(分治)

评测传送门

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define FOR(i,a,b) for(register ll i=a;i<=b;i++)
#define ROF(i,a,b) for(register ll i=a;i>=b;i--)
using namespace std;
const int Mod=1e9+7;
int n,m,k;
struct s1
{
    int a[101][101];
}c,e;
int scan()
{
    int as=0,f=1;char c=getchar();
    while(c>'9'||c<'0'){if(c=='-') f=-1;c=getchar();}
    while(c>='0'&&c<='9'){as=(as<<3)+(as<<1)+c-'0';c=getchar();}
    return as*f;
}
s1 mul(s1 x,s1 y)
{
    memset(c.a,0,sizeof(c.a));
    FOR(i,1,n)
        FOR(j,1,n)
        FOR(k,1,n)
        c.a[i][j]=(c.a[i][j]%m+(x.a[i][k]*y.a[k][j])%m)%m;
    return c;
}
s1 ad(s1 x,s1 y)
{
    s1 ans;
    FOR(i,1,n)
        FOR(j,1,n)
        ans.a[i][j]=(x.a[i][j]+y.a[i][j])%m;
    return ans;
}
s1 ksm(s1 x,int h)
{
    s1 ans=e;
    while(h)
    {
        if(h&1) ans=mul(x,ans);
        x=mul(x,x);
        h>>=1;
    } 
    return ans;
}
s1 cal(s1 ori,int h)
{
    if(h==1) return ori;
    if(h&1)
        return ad(cal(ori,h-1),ksm(ori,h));
    else
        return mul(ad(ksm(ori,0),ksm(ori,h>>1)),cal(ori,h>>1));
}
int main()
{
    n=scan();k=scan();m=scan();
    s1 ori;
    FOR(i,1,n)
        FOR(j,1,n)
        ori.a[i][j]=scan(),ori.a[i][j]%=m;
    FOR(i,1,n) e.a[i][i]=1;//单位初始啦
    s1 ans=cal(ori,k);//求和......
    FOR(i,1,n)
    {
        FOR(j,1,n)
            cout<<ans.a[i][j]<<" ";
        cout<<endl;
    }
    return 0;
}