四色定理， 实际上是 看 平面图形 的 “共聚” 行为 最多可以 发生 在 几个 图形 上 。
我们先来看看 什么 是 地图 ：
地图 就是 平面 上 n 个 图形 。
图形 之间 会 “接壤” ， 接壤 就是 指 2 个 图形 有 公共边 ， 这个 公共边 可以是 直线线段， 也可以是 曲线线段，
但是 公共点 不算 接壤， 就是说 2 个 图形 之间 没有 公共边， 只有 公共点， 这样 是 不算 接壤 的 。
因为 如果 公共点 算 接壤 的 话， 如下图， 从 o 点 发出 n 条 射线， 可以 把 o 点 周围 的 区域 分为 n 个 区域，
如果 公共点 算 接壤 的 话， 那么， o 点 周围 的 n 个 区域 都是 接壤 的， 需要 用 n 种 颜色 来 把 它们 区分 开 。
接下来 我们 就来 看看 最大 共聚 会 发生在 几个 图形 ：
共聚 ， 就是 有 n 个 图形， 每一个 图形 都 和 其它 所有 图形 接壤， 这样 就称为 这 n 个 图形 共聚 。
显然， 对于 共聚 的 n 个 图形， 需要有 n 种 颜色 来 区分 它们 。
那么， 在 二维平面 上， 最多 能有 多少个 图形 发生 共聚 ？
最多 能有 多少个 图形 发生 共聚， 就是 一张 地图 最少 需要 多少种 颜色 。
最多 能有 多少个 图形 共聚 称为 “最大共聚” 。
显然 ， 四色定理 就是 要 求取 最大共聚 。
我们 来 看看 最简单 的 共聚 情形， 就是 2 个 图形 的 共聚 ， 这其实就是 2 个 图形 挨 在一起 ：
再看看 3 个 图形 共聚 的 情形 ：
再看看 4 个 图形 共聚 的 情形 ：
可以看到， A 和 B C D 接壤， B 和 A C D 接壤， C 和 A B D 接壤， D 和 A B C 接壤 。
接下来 我们 再加入 第 5 个 图形 ， 但是 我们 发现 ， 在 ABCD 共聚 的 这个 组合图形 里， B 已经被 包住了， “裸露” 在 外面 的 图形 只有 A C D ，
这样， 加入 第 5 个 图形 也 只能 最多 和 A C D 接壤， 即 形成 的 共聚 最多 还是 4 共聚 （4 个 图形 的 共聚）：
如图， E 和 A C D 组成了 ACDE 4 共聚 。
当然， E 也可以 不和 A C D 组成 4 共聚， 比如 ：
这是 E 和 A D 组成了 ADE 3 共聚， ABCD 仍然是 4 共聚 。
我们可以 观察 到 一个 现象 或者说 规律， A B C D 形成 4 共聚 时， 形成了 一个 “封闭体” ， 把 B 包在了 里面，
D 要 和 A 接壤 必须 要 绕过 B C ， 绕过 B C 后 一旦 和 A 接壤 就会把 B 或 C 封闭 起来 ：
如果 D 绕过 B 和 A 接壤， 就会 把 B 封闭 起来， 即 A C D 形成 封闭体 把 B 封闭 起来，
如果 D 绕过 C 和 A 接壤， 就会 把 C 封闭 起来， 即 A B D 形成 封闭体 把 C 封闭 起来，
我们 根据 这个 现象 / 规律 来 证明 二维平面 上 图形 的 共聚 最大 是 4 共聚 ， 证明如下 ：
不过 在 证明 之前， 我们 还可以来看看 几种 情况， 比如 4 共聚 的 内部 包含了 其它 图形：
如图， ABCD 的 内部 包含了 x （在 B 的 右上角） ， 但是这并不影响 ABCD 4 共聚， ABCD 4 共聚 仍然 成立 。
4 共聚 内部 包含了 空白， 空白 就是 地图 的 空白：
如图， ABCD 内部 包含了 空白 （在 B 的 右上角） ， 这也 不影响 ABCD 4 共聚， ABCD 4 共聚 仍然 成立 。
4 共聚 内部 包含了 4 共聚：
这里 有 BDxy 4 共聚 和 ABCD 4 共聚，
好， 现在 我们 就开始 证明 ：
假设 有 A B C D E 5 个 图形 形成了 5 共聚 ， 那么 根据 共聚 的 定义， 共聚 的 每一个 图形 和 其它 的 所有图形 都有 接壤，
所以， 5 共聚 中 任意 的 4 个 图形 都是 4 共聚，
所以， 对于 ABCD 4 共聚 ， 会 形成 一个 封闭体， 设 A C D 形成 封闭体， 将 B 封闭 在 里面，
若 E 在 ACD 封闭体 外部， 则 E 与 B 无法 接壤 ， 这表示 ABCDE 无法形成 5 共聚， 与 题设 ABCDE 形成 5 共聚 矛盾，
故 E 在 ACD 封闭体 外部 的 情形 下， 题设 ABCDE 形成 5 共聚 不成立， 由此 证明 4 共聚 和 外部 的 图形 不能 形成 5 共聚 。
同样的道理， 可以 证明 4 共聚 和 外部 的 图形 不能 形成 大于 4 的 共聚 。
这个 证明 称为 证明(1) ， 后面 还会用到 。
接下来 来 看 E 在 ACD 封闭体 内部 的 情形，
因为 ABCDE 是 5 共聚， 所以 E 在 ACD 内部， 会和 A B C D 形成 4 个 4 共聚， ABCE, BCDE, ACDE, ABDE ，
这就是 4 共聚 内部 包含 4 共聚 的 情形， 这样就 寻找 最内层 的 4 共聚，
设 ABCE 是 最内层 4 共聚， ACE 形成 封闭体， 将 B 封闭 在 里面， 则 D 和 B 不能 接壤， 这表示 ABCDE 无法形成 5 共聚， 与 题设 ABCDE 形成 5 共聚 矛盾，
故 E 在 ACD 封闭体 内部 的 情形 下， 题设 ABCDE 形成 5 共聚 不成立， 由此 证明 4 共聚 和 内部 的 图形 不能 形成 5 共聚 。
此为 证明(2) 。
结合 证明(1) 和 证明(2) ， 可以证明， 4 共聚 不能 和 外部 图形 组成 5 共聚， 也不能 和 内部 图形 组成 5 共聚 。
所以， 二维平面 上 的 5 共聚 是 不成立 的 。
但是， 要让 这个 证明 成立， 还要 证明 一点， 即 “最内层的 4 共聚” 是 存在的，
什么情况下， 最内层 的 4 共聚 不存在？ 循环 的 情况下 。
比如， 有 m, n, p, q 4 个 4 共聚， m 是 n 的 外层， n 是 p 的 外层， p 是 q 的 外层， q 是 m 的 外层，
注意， 最后的 q 是 m 的 外层 就 导致了 循环， 这样 m n p q 循环相套， 就 不存在 最内层 的 4 共聚 了 。
接下来 我们 要 证明 循环 是 不存在 的：
因为 4 共聚 形成了 封闭体， 所以 4 共聚 内部 的 图形 不可能 和 封闭体 外部 的 图形 接壤， 所以 不可能 和 封闭体 外面 的 图形 形成 共聚，
所以 4 共聚 内部 的 4 共聚 不可能 成为 外层 4 共聚 的 外层， 更不可能 成为 外层 的 外层 。
所以 循环 是 不存在 的， 最内层 4 共聚 是 存在 的 。
这样 就 证明完成 了 。
所以， 二维平面 上 的 5 共聚 是 不成立 的 。
同样的道理 ， 可以 证明 二维平面 上 其它 大于 4 的 共聚 （6 共聚 、 7 共聚 、 ……） 也是 不成立 的 。
所以， 二维平面 上 的 共聚 不会 超过 4 共聚 ， 4 共聚 是 二维平面 上 的 最大 共聚 。
上述 证明 是 用 矩形 和 多边方形 举例， 但是 可以 推广到 任意 多边形 和 曲线图形 。
由以上 ， 可以证明 二维平面 的 图形 的 最大共聚 是 4 共聚 ， 4 共聚 需要 4 种 颜色 来 区分 4 个 图形，
所以 一张 地图 最少 需要 的 颜色 是 4 种 。
证明完成 。
这个 证明 用到 了 2 个 核心 的 直观， 一个是 封闭体， 一个是 封闭体 的 “外部” 和 “内部” ， 其它部分 基本上 算是 逻辑 。
四色定理 反映 的 是 二维平面 上的 图形 可以 通过 延伸 生长 来 和 尽量多 的 其它 图形 接壤， 但是 在这个 过程 中， 也会 阻断 其它 图形 之间的 接壤 。
这里面 有一个 平衡关系 ， 这个 平衡关系 就是 二维平面 上 图形 的 最大共聚 是 4 共聚 ， 即 四色定理 。