写这篇文章 的 原因 是 受到 了 民科吧 反相吧 网友 专业证伪 的 启发 。
专业证伪 发表 过 一些 文章， 提出 对 三等分角 化圆为方 的 一些 解决方法， 具体 的 没细看， 大致 瞟了一下 示意图， 后来 产生了一个 想法 ，
三等分角 化圆为方 能不能 用 无穷级数 的 方式 来 实现 ？
比如， 三等分 ∠ α ， 可以 从 ∠ α 的 一边 先 切割 一个 ∠ β1 ， 再邻着 ∠ β1 继续 切割 ∠ β2， 如此 一直 切割 到 ∠ βn， n -> 无穷 ，
使得 ∠ β1 > ∠ β2 > ∠ β3 > …… > ∠ βn ， ∠ βn -> 0 ， ∠ β1 + ∠ β2 + ∠ β3 + …… + ∠ βn = 1/3 * ∠ α 。
如图 ：
化圆为方 是 已知 圆， 用 尺规作图 求出 和 圆 面积 相等 的 正方形 。 对于 化圆为方， 可以这样， 如下图， 过 点 B 作 射线 BD 二等分 ∠ CBA ， BD 与 圆 O 相交于 D 点， 这样 可以 作出 黄色 小正方形， 依此类推， 可以作出 橙色 小正方形， 以及 无数个 小正方形 来 填满 正方形 和 圆 之间 的 “空缺” 。
但 这样 就 牵扯出 一个 “化零为整” 问题， 化零为整 问题 是 这样， 已知 正方形 A 的 边长 为 a ， 正方形 B 的 边长 为 b， 设 正方形 C 的 面积 等于 A 和 B 的 面积 之 和， 求 C 的 边长 c 是多少 ？ 用 a 、b 和 尺规作图 表示 出 c 。
另外 还 引出 一个 “化长为方” 问题， 化长为方 是 把 一个 长方形 化为 面积相等 的 正方形 。 化长为方 也是 化零为整 问题 ， 因为 一个 长方形 可以 分割为 有限个 或者 无限个 正方形 。
将 长方形 分割 为 n 个 正方形， 再把 这些 正方形 化零为整 就 得到 面积 和 长方形 相等 的 正方形 。
另外， 化方为圆 问题 又怎么样？ 化方为圆 是 化圆为方 的 逆操作， 已知 一个 正方形， 用 尺规作图 求出 和 正方形 面积 相等 的 圆 。
还有， 化圆为方 周长版 又 怎么样 ？ 化圆为方 周长版 是 已知 一个 圆， 用 尺规作图 求出 和 圆 周长 相等 的 正方形 。
当然， 还有 化方为圆 周长版 ， 化方为圆 周长版 是 已知 一个 正方形， 用 尺规作图 求出 和 正方形 周长 相等 的 圆 。
2020-06-15 补充 ：
化零为整 可以这样实现， 设 正方形 A 、B 、C 的 面积 是 Sa, Sb, Sc，
Sc = Sa + Sb
c ² = a ² + b ²
c = 根号 ( a ² + b ² )
这就是 勾股定理 嘛， 就是说， 以 a 、b 为 直角边 画一个 直角三角形， 斜边 就是 c 。
这样， 化零为整 就可以 实现了， 化长为方 也就可以 实现了， 化圆为方 也可以 实现了 。
化圆为方 就是 如 上文 图中所示， 先在 圆 里 分出一个 正中 的 大正方形， 再 继续 分出 填满周围 “空缺” 的 无数个 小正方形， 把 大正方形 和 小正方形 化零为整 就可以得到 和 圆 面积 相等 的 正方形， 也就 实现了 化圆为方 。
当然， 填满 空缺 的 小正方形 的 数量 是 无穷个， 且 小正方形 越来越小， 小正方形 的 面积 趋于 0， 所以 这是一个 无穷级数 。