这几天 反相吧 吧主 incinc 在 反相吧 发了 一个 帖 《美国早期高考的一道数学题，你做得对嘛？》 https://tieba.baidu.com/p/6751019015 ，
这 帖 出奇 的 火 了， 还 诞生了 几个 讨论 这个 问题 的 新 的 帖子， 啊这 。
这个 帖 里 的 题目 是 ：
其实 可以 把 这个 题目 当成 另一个 数学题 来 做， 设 小圆 初始时 和 大圆 接触 的 点 为 A， 求 A 点 的 轨迹 。
红色 的 点 就是 A 点， A 点 是 小圆 的 点， 初始时 和 大圆 接触 。 原题 的 图 里 A 、B 是 圆心， 我下面 会 重新 画图 把 圆心 改成 O 和 O ′ 。
如图， 大圆 圆心 为 O， 小圆 圆心 为 O ′ ， A 点 在 小圆 上， B 点 在 大圆 上， 初始时， A 、B 两点接触 。 求 A 点 轨迹 。
以 大圆 圆心 O 为 原点 建立 极坐标系， 极角 θ = ∠ AOB ， 极径 ρ = OA 。
小圆 的 滚动过程 可以分为 前半周 和 后半周， OO ′A 三点 在 一条直线 之前 为 前半周， 之后 是 后半周 。
我们 研究 前半周， 前半周 可以 分为 2 段， OA 与 小圆 相切 之前 是 第一段， 之后 是 第二段 。
图 (1) 是 第一段， 图 (2) 是 第二段， OA 与 小圆 相切 是 第一段 和 第二段 的 分界点 。
可以看到， 第一段 的 ∠ OAO ′ 是 钝角， 第二段 的 ∠ OAO ′ 是 锐角 。
为了便于叙述， 将 第一段 命名为 “前半周 - 1 段”， 第二段 命名为 “前半周 - 2 段” 。
图 (1) 
图 (2)
作 AH 垂直于 OO ′， 与 OO ′ 相交于 H 。 设 大圆 半径为 R， 小圆 半径 为 r 。
先看 前半周 - 1 段， 如 图 (1) ，
∠ BOC = 弧 BC / R ， ∠ AO ′C = 弧 AC / r ， 因为 弧 BC = 弧 AC ， 设 弧 BC = 弧 AC = L， 则
∠ BOC = L / R ， ∠ AO ′C = L / r
O ′H = O ′A * cos ∠ AO ′C = r * cos ( L / r )
AH = O ′A * sin ∠ AO ′C = r * sin ( L / r )
OH = OO ′ - O ′H = ( R + r ) - r * cos ( L / r )
OA = 根号 { AH ² + OH ² } = 根号 { [ r * sin ( L / r ) ] ² + [ ( R + r ) - r * cos ( L / r ) ] ² }
= 根号 { r ² + ( R + r ) ² - 2 r ( R + r ) cos ( L / r ) }
ρ = OA = 根号 { r ² + ( R + r ) ² - 2 r ( R + r ) cos ( L / r ) }
因为 tan ∠ AOC = AH / OH = r * sin ( L / r ) / [ ( R + r ) - r * cos ( L / r ) ]
所以， ∠ AOC = arctan { r * sin ( L / r ) / [ ( R + r ) - r * cos ( L / r ) ] }
θ = ∠ AOB = ∠ BOC - ∠ AOC = L / R - arctan { r * sin ( L / r ) / [ ( R + r ) - r * cos ( L / r ) ] }
得
ρ = 根号 { r ² + ( R + r ) ² - 2 r ( R + r ) cos ( L / r ) } (1) 式
θ = L / R - arctan { r * sin ( L / r ) / [ ( R + r ) - r * cos ( L / r ) ] } (2) 式
(1) 式 (2) 式 中， L 为 自变量， ρ 、θ 为 因变量， 根据 (1) 式 (2) 式 可以得到 A 点 的 轨迹 。
也可以 看作 θ 为 自变量， ρ 为 因变量， 这样 (1) 式 (2) 式 表示 ρ 和 θ 的 函数， 这是一个 隐函数 。 此时， L 好像叫 参数变量， 也可以 简称 参数 。 还是叫 中间变量 ？ 中间变元 ？
再来看 前半周 - 2 段， 给 图 (2) 加上 两条 辅助线 （红色）， 如下 图 (3)
图 (3)
同样， ∠ BOC = L / R， ∠ AO ′C = L / r ，
O ′D = O A′ * cos ∠ AO ′D = O ′A * cos ( π - ∠ AO ′C ) = r * cos ( π - L / r )
AD = O ′A * sin ∠ AO ′D = O ′A * sin ( π - ∠ AO ′C ) = r * sin ( π - L / r )
OA = 根号 { OD ² + AD ² } = 根号 { ( OO ′ + O′ D ) ² + AD ² } = 根号 { [ ( R + r ) + r * cos ( π - L / r ) ] ² + [ r * sin ( π - L / r ) ] ² }
= 根号 { ( R + r ) ² + r ² + 2 r ( R + r ) cos ( π - L / r ) }
ρ = OA = 根号 { ( R + r ) ² + r ² + 2 r ( R + r ) cos ( π - L / r ) }
因为 tan ∠ AOC = AD / OD = AD / ( OO ′ + O ′D ) = r * sin ( π - L / r ) / [ ( R + r ) + r * cos ( π - L / r ) ]
所以， ∠ AOC = arctan { r * sin ( π - L / r ) / [ ( R + r ) + r * cos ( π - L / r ) ] }
θ = ∠ AOB = ∠ BOC - ∠ AOC = L / R - arctan { r * sin ( π - L / r ) / [ ( R + r ) + r * cos ( π - L / r ) ] }
得
ρ = 根号 { ( R + r ) ² + r ² + 2 r ( R + r ) cos ( π - L / r ) } (3) 式
θ = L / R - arctan { r * sin ( π - L / r ) / [ ( R + r ) + r * cos ( π - L / r ) ] } (4) 式
(3) 式 (4) 式 就是 前半周 - 2 段 的 A 点 轨迹 方程 。
因为 sin ( π - L / r ) = sin ( L / r ) ， cos ( π - L / r ) = - cos ( L / r ) ，
所以， (3) 式 (4) 式 可化为
ρ = 根号 { ( R + r ) ² + r ² - 2 r ( R + r ) cos ( L / r ) } (5) 式
θ = L / R - arctan { r * sin ( L / r ) / [ ( R + r ) - r * cos ( L / r ) ] } (6) 式
可以看到， (5) 式 (6) 式 和 (1) 式 (2) 式 完全一样， 所以， 前半周 - 1 段 和 前半周 - 2 段 的 A 点 轨迹方程 是 一致 的， 都是 (1) 式 (2) 式 。
即 前半周 的 A 点 轨迹方程 是 (1) 式 (2) 式 。
后半周 的 A 点 轨迹方程 可 根据 对称性 从 (1) 式 (2) 式 推导出 。
A 点 的 运动轨迹 是 周期性 的， 前半周 和 后半周 合起来是 一个周期 。
A 点 的 运动轨迹， 也就是 (1) 式 (2) 式 表示 的 曲线， 可以称为 圆周摆线 。