我知道的 极坐标系 解 的 题 有 ：
1 二体
2 史瓦西半径
3 球面短程线
事实上， 对于 “3 球面短程线” ， 我并不确定， 我之前 看了一眼 陈彼方 同学 发的 教科书 上 推导 球面短程线 的 资料， 看到里面 提到 变分法， 我想 球面 是 一个 多值多变量 函数， 怎么用 变分法 ？ 这有点 呵呵 。
球面方程 是 x ² + y ² + z ² = r ² , r 为 常量
这是一个 多值函数， 以 z 为 函数， 则
z = 根号 ( r ² - x ² - y ² )
z = - 根号 ( r ² - x ² - y ² )
z 有 正负 两个根， 是 二值函数， 若 只取 正根， 表示 半球， 但 此时 有 x, y 两个 自变量， 仍然 是 二元函数 。
二元函数， 2 个 自变量， 怎么用 变分法 ？
后来想到， 可以用 空间极坐标系， 球面 在 空间极坐标系（球坐标系） 里 的 方程 就是 一个 r = R, R 为 常量 。
这样， 对于 一个 球面， 在 球坐标系 里 ， r, θ, φ 三个 坐标 里， r 为常量， 这样 只剩下 θ, φ 两个变量， 既然 只有 2 个 变量， 就可以用 变分法 了 。
可以 写出 球面 上 任意 两点 间 任意 “不回头” 的 曲线 的 长度 的 函数表达式， θ 为 自变量， φ 为 因变量， 或者 φ 为 自变量， θ 为 因变量， 都可以 。
“不回头” 就是 指 曲线 不会 绕回来， 或者 不停 的 绕回来 绕过去 。 也可以说 一个 θ 只 对应 一个 φ ， 或者 反之 。
总之就是 φ 是 θ 的 函数， 或者 反之 。
写出了 任意 两点 间 任意 “不回头” 的 曲线 的 长度 的 函数表达式， 这是一个 定积分 表达式， 就可以 使用 欧拉 - 拉格朗日 方程 第二种形式 来求 最小积分条件， 也就是 短程线 条件 。
回到主题， 一说起 极坐标系， 总感觉 投机取巧 。
极坐标系 解 的 题 是 一些 特例， 如果 让 条件 一般化， 用 极坐标系 就 解不了了 。
比如， 二体， 如果 再多一个 质点， 就 成了 三体， 极坐标系 就 没法 用 了 。 短程线 也是， 对于 一般 的 曲线， 用 极坐标系 求 短程线 不会像 球面 这样 容易 。
所以， 在 某个 领域， 极坐标系 就 解 那么 一两个 特例， 所以说， 极坐标系 （在 某个 领域） 是 “一生只做一件事” 。
我刚刚也用 极坐标系 做了一个题， 可以看看 ： 《圆周摆线》 https://www.cnblogs.com/KSongKing/p/13170411.html 。