在 《出一道题：证明在n维欧氏空间中不创造n+2个非零向量》 里 的 回复

网友   2747293287q   在 反相吧 发了一个 帖 《出一道题：证明在n维欧氏空间中不创造n+2个非零向量》   https://tieba.baidu.com/p/6947806936   ，

 

里面 列了 一道题 ：

出一道题：证明在n维欧氏空间中不创造n+2个非零向量v1,...,v_n+2使得他们两两之间的夹角都是钝角

 

 

我证明了一下，   回复到了 帖 里 的  3 楼  。

3 楼

为了 叙述方便，  把  n 维 空间 里 两两夹角 都是 钝角 的 最多 的 向量 的 集合 称为 两两钝角最多向量  。

 

将    n - 1 维 空间 里 的 两两钝角最多向量  记为  C_n-1  ，   作 一个 向量 V1 ，  使之 和  C_n-1 的 所有向量 成 两两钝角，    把  C_n-1 和 V1 合起来 称为  C_n  ，   C_n 是 C_n-1 在 n 维 空间 里 扩展得到 的 新 的 两两钝角向量集合，    C_n 比 C_n-1 多一个 向量 V1 。

 

注意，  我们 还不知道  C_n  是不是 两两钝角最多向量，    1 楼 的 题目  就是 要 证明 C_n  是 两两钝角最多向量   。

 

将 C_n-1 所在 的 n - 1 维 空间 记为   Sp_n-1   。

 

要证明这个 题，   需要先证明 一个定理 ：     要 得到 C_n ，   需要 先 得到  C_n-1 ，   然后，  在 n 维 空间 里  作 一个 向量  V1 ，  使之 和  Sp_n-1  正交  ，    可以知道，  V1 和 Sp_n-1 里  所有 的 向量 正交，   也就是 和 C_n-1 里 所有 的 向量 正交，

因为 V1 和 Sp_n-1 正交，  所以，  V1 可以 和 Sp_n-1 组成 一个 n 维 直角坐标系，  记为 O  。

O  中   n 维 空间 向量 表示为   ( x1, x2, x3 ……  xn )   ，    C_n-1 里 所有 的 向量 的 xn = 0  。

O  中 的 xn 坐标轴 就是 V1 所在 的 直线，  xn 轴 的 正方向 是 V1 的 方向，   至于 其它 坐标轴  x1, x2, x3  ……   ，  具体 的 不用管，  反正 它们 都在 Sp_n-1，  且  V1 和 它们  正交  。

让 C_n-1  里 的 全部向量 的 xn 都 增加 一个 微小 的 负增量，    负增量 是指 这个 增量 是 负数，

则 ，    V1 和 C_n-1  合起来 就是 C_n   。

 

这个 定理 称为  “n 维 空间 钝角向量 扩展定理”   。

 

可以 证明 一下 这个 定理，       因为  V1 和 C_n-1  里 所有 的 向量 正交，  所以， V1 和 C_n-1 里 所有向量 两两 成 直角，   

对于 C_n-1 里 的 一个 向量 V ，    V1 和 V   确定一个 平面，  在 此 平面 上  V1 和 V 成 直角，

V 的 xn 记为 V_xn  ，    上面说了，  C_n-1 里 所有向量 的 xn = 0 ，  所以，  V_xn = 0，

容易知道 ，  让 V_xn 增加一个 微小 的 负增量，  即   V_xn = 0 + ⊿ x = ⊿ x  ，     ⊿ x < 0  ，

这会让  V  的 方向 发生 偏转，    V 和 V1 的 夹角 会 从 直角 变成 钝角 ，

让 C_n-1 里 的 所有向量 的 xn 都等于   ⊿ x ,  ⊿ x < 0 ，   则 C_n-1 里 所有向量 和 V1 的 夹角 都会 从 直角 变成 钝角  。

 

又 因为 C_n-1  是 n - 1 维 空间 里 的 两两钝角最多向量，    也就是  C_n-1  里 所有 的 向量 两两之间 的 夹角 都是 钝角，

每一个 向量 的  xn = ⊿ x  ，   会让   C_n-1  里 所有 的 向量 两两之间 的 夹角  发生 改变，

但 因为 ⊿ x   很小，    所以，  可以让  C_n-1  里 所有 的 向量 两两之间 的 夹角 虽然 发生改变，  但仍然 保持 钝角  。

 

这就 证明了  n 维 空间 钝角向量 扩展定理  。

 

可以把  n 维 空间 钝角向量 扩展定理  扩展一下，   C_n-1 里 的 每个向量 增加 的 ⊿ x ,   ⊿ x < 0 可以  大小不同，   只要 保持 两两钝角 就行 。

这样的话，   n 维 空间 钝角向量 扩展定理   就是  C_n-1  扩展到 C_n  的 一般形式，    任何 将 C_n-1  扩展到 C_n  的 方法 都可以 表达为 n 维 空间 钝角向量 扩展定理  。

 

 

还需要 证明一个 定理，   在 三维坐标系 中，  从 原点 O 发出 2 条 射线 OA 、OB ，  A 点坐标 是  ( xa, ya, za ) ，  B 点坐标 是  ( xb, yb, zb )   ，

za > 0 ，  zb > 0  ，

OA 、OB 的 夹角 是  ∠ AOB ，

OA 、OB 在 xy 平面 上 的 投影 是  OA ′ 、OB ′  ，    OA ′ 、OB ′   的 夹角 是  ∠ A ′OB ′  

若   ∠ A ′OB ′   为 锐角，  则 ∠ AOB  也是 锐角  ，

若   ∠ A ′OB ′   为 直角，  则 ∠ AOB  也是 锐角  ，

若  zb = 0，   za -> 正无穷 ，   则  ∠ AOB  ->  90 ° ，   

若  za = 0，    zb -> 正无穷 ，  则  ∠ AOB  ->  90 ° ，  

若  za -> 正无穷，   zb -> 正无穷，   则  ∠ AOB  ->  0 °   。

 

这个 定理 称为  “空间 夹角 投影定理”   。      这个 定理 之后 再证明，  这里 先 略过  。

 

 

接下来 证明  1 楼 题目  。

 

根据 n 维 空间 钝角向量 扩展定理，   可以 通过 2 个 步骤 来 获得  C_n  ： 

1  在 n 维空间 里 先 获得 C_n-1  ，  作 一个 向量 V1  与 Sp_n-1 正交， 

2  让 C_n-1 的 所有向量 的 xn 都 增加一个 ⊿ x ， ⊿ x < 0 ，

 

先做 步骤 1，  

 

再作 一个 任意向量 V2，    看 在 用  n 维 空间 钝角向量 扩展定理 将 C_n-1 扩展为 C_n 后，  V2 能不能 和 C_n 成 两两钝角 。

 

1   若 V2 与 V1 成 锐角，     做 步骤 2  之后 V2 与 V1 仍然 成 锐角，    不满足  V1 、V2 、C_n-1 形成 两两钝角  。

2   若 V2 与 V1 成 钝角，     则 在 O 中，   V2 的 xn < 0 ，    V2 的 xn 记为   V2_xn ，    V2_xn < 0  。   

设 V2 在  O 里 的 坐标 是   ( V2_x1, V2_x2, V2_x3 …… V2_n-1, V2_xn )  ，     让  V2_xn = 0 ，  得到 一个 向量  ( V2_x1, V2_x2, V2_x3 …… 0 )   ，  这是 V2 在 Sp_n-1 里 的 投影 ，   记为  V2 ′ ，   也就是   V2 ′  =    ( V2_x1, V2_x2, V2_x3 …… V2_xn-1,   0 )   。

 

因为 C_n-1   是 Sp_n-1  里 的 两两钝角最多向量 ，  在 Sp_n-1 里 再增加 一个 向量，  这个 向量 必然 不和 C_n-1 里 的 任何 一个 向量 成 钝角，  只会 成 锐角 或 直角，   

所以， 如果 V2 ′  不和 C_n-1 里 的 某一向量 重合，  那么，  必然 和 C_n-1 里 至少一个 向量 成 锐角 或 直角  。

设 C_n-1 里 和 V2 ′ 成 锐角 或 直角 的 一个 向量 为 V，   V 和 V2 ′  组成 一个 向量平面， 记为 P  。   

两个 向量 都由 原点 发出时，   两个 向量 组成 的 平面 才是 向量平面，  如果 两个 向量 不是 都由 原点发出， 则 两个向量 组成 的 平面 不是 向量平面，   可以把 向量 平移 到 原点 再组成 向量平面  。

V 和 V ′ 都由 原点 O 发出 时， 向量平面 是  V 、V2 ′ 和 原点 O 组成 的 平面 。

因为  V1 和 Sp_n-1  正交，   所以，  V1 垂直于 V2 ′ ，  也 垂直于 V ，  也垂直于 P  。

此时， 做 步骤 2，   让 V 的 xn  增加 ⊿ x ,  ⊿ x < 0  ，   V 方向 会 发生偏转， 偏转后 的 V 记为 V ′  ，

V 是 V ′  在  P 上 的 投影，  而 V2 ′  是 V2 在  P 上 的 投影， 

V 和 V2 ′  的 夹角 是 锐角 或 直角，  根据  空间 夹角 投影定理  ，  V ′  和 V2 的 夹角 是 锐角 。

即  V ′  和 V2 的 夹角   不是 钝角，    不满足  V1 、V2 、C_n-1 形成 两两钝角  。

 

如果  V2 ′  和 C_n-1 里 的 某一向量 V 重合，   设 V =  ( V_x1, V_x2, V_x3 ……  V_xn ) ，   V2 ′ = ( V2 ′_x1,  V2 ′_x2,  V2 ′_x3 ……  V2 ′_xn ) ，

V2 ′  和  V 重合 ，  可以 认为 是 

V_x1 =  V2 ′_x1

V_x2 =  V2 ′_x2

V_x3 =  V2 ′_x3

……

V_xn-1 =  V2 ′_xn-1

V_xn =  V2 ′_xn  =  0

 

这些 式子 称为  (1) 式组  。

 

在 n 维 空间 里，     V_x1, V_x2, V_x3 ……  V_xn-1  可以 确定 一条 直线  L，    L  和  xn 坐标轴 平行，  也就是 和 V1 平行，   L 和 V1 确定 一个平面  Q ，

可以 认为  向量  由  2 点 组成，  一个 是 坐标系 原点，    一个 是 端点，

而     (1) 式组  表示  V2 、V2 ′ 、V   的 端点 都 在 L 上，  又因为 原点 在 V1 上， 且  L 和 V1 确定 一个平面  Q  ，

所以，    V2 、V2 ′ 、V   都 在 平面 Q 上  。

 

因为    V2 、V2 ′ 、V   都 在 平面 Q 上 ，  V2 ′ 和  V 重合，   V2_xn < 0，   V_xn = 0  ，    可以知道，  V2 和 V 的 夹角 是 锐角，

做 步骤 2，  让   V_xn =  ⊿ x ,     ⊿ x < 0   ，     V 方向 会 发生偏转， 偏转后 的 V 记为 V ′  ，   V ′   仍然 在 平面 Q 上  。

可以知道，   V ′ 和 V2  的 夹角 还是 锐角，   不是 钝角，    不满足  V1 、V2 、C_n-1 形成 两两钝角  。

 

 

3   若 V2 与 V1 成 直角，  和 2 成 钝角 的 情形 类似 ，  同理 可证 ，  做 步骤 2  后，  不满足  V1 、V2 、C_n-1 形成 两两钝角  。

 

4   若 V2 与 V1 成 平角，  即 V2 是 V1 的 反方向，  则  V2 和 C_n-1 里 的 所有向量 垂直，  V2_xn < 0  ，   做 步骤 2 后，   C_n-1 里 的 所有向量 的 xn 增加 ⊿ x ， ⊿ x < 0 ，   易知  C_n-1 里的 所有 向量 和 V2 成 锐角，    不满足  V1 、V2 、C_n-1 形成 两两钝角  。

 

 

所以，   根据  n 维 空间 钝角向量 扩展定理，  可以 增加 一个 向量 V1，  将  C_n-1 扩展 到 C_n ，   使得  C_n 满足 两两钝角，

但是 不能 在 C_n 里 再增加 一个 向量 V2 ，   增加 V2 则  V2 和 C_n 不满足  两两钝角  。

 

而  n 维 空间 钝角向量 扩展定理  是 将 C_n-1 扩展到 C_n  的 一般形式，   这表示，  无论用 什么方法 将 C_n-1 扩展到 C_n，   都 不能 再加 一个 V2，  增加 V2 则   V2 和 C_n 不满足  两两钝角  。

 

所以  Cn  就是  两两钝角最多向量   。

 

这个 结论 称为  推论 1，    记为 ：

 

C_n =  C_n-1  ∪  V1        (1) 式

或者，

C_n = C_n-1 +  1           (2) 式

 

 

接下来 开始 从 二维平面 开始 递推 证明，   二维平面 上 两两钝角最多向量 是 3 个 向量，  也就是   C_2 = 3，

根据   (2) 式，

三维空间 里 C_3 = C_2 + 1 = 3 + 1 = 4

四维空间   C_4 = C_3 + 1 = 4 + 1 = 5

C_5 = C_4 + 1 = 5 + 1 = 6

C_6 = C_5 + 1 = 6 + 1 = 7

……

 

可见，     n 维 空间 里 最多 只能 有  n + 1 个 向量 成 两两钝角，   也就是 不能 有  n + 2  个 向量 成 两两钝角，   这就 证明了 1 楼 的 题目 。