• 在 《出一道题:证明在n维欧氏空间中不创造n+2个非零向量》 里 的 回复


    网友   2747293287q   在 反相吧 发了一个 帖 《出一道题:证明在n维欧氏空间中不创造n+2个非零向量》   https://tieba.baidu.com/p/6947806936   ,

     

    里面 列了 一道题 :

    出一道题:证明在n维欧氏空间中不创造n+2个非零向量v1,...,v_n+2使得他们两两之间的夹角都是钝角

     

     

    我证明了一下,   回复到了 帖 里 的  3 楼  。

    3 楼

    为了 叙述方便,  把  n 维 空间 里 两两夹角 都是 钝角 的 最多 的 向量 的 集合 称为 两两钝角最多向量  。

     

    将    n - 1 维 空间 里 的 两两钝角最多向量  记为  C_n-1  ,   作 一个 向量 V1 ,  使之 和  C_n-1 的 所有向量 成 两两钝角,    把  C_n-1 和 V1 合起来 称为  C_n  ,   C_n 是 C_n-1 在 n 维 空间 里 扩展得到 的 新 的 两两钝角向量集合,    C_n 比 C_n-1 多一个 向量 V1 。

     

    注意,  我们 还不知道  C_n  是不是 两两钝角最多向量,    1 楼 的 题目  就是 要 证明 C_n  是 两两钝角最多向量   。

     

    将 C_n-1 所在 的 n - 1 维 空间 记为   Sp_n-1   。

     

    要证明这个 题,   需要先证明 一个定理 :     要 得到 C_n ,   需要 先 得到  C_n-1 ,   然后,  在 n 维 空间 里  作 一个 向量  V1 ,  使之 和  Sp_n-1  正交  ,    可以知道,  V1 和 Sp_n-1 里  所有 的 向量 正交,   也就是 和 C_n-1 里 所有 的 向量 正交,

    因为 V1 和 Sp_n-1 正交,  所以,  V1 可以 和 Sp_n-1 组成 一个 n 维 直角坐标系,  记为 O  。

    O  中   n 维 空间 向量 表示为   ( x1, x2, x3 ……  xn )   ,    C_n-1 里 所有 的 向量 的 xn = 0  。

    O  中 的 xn 坐标轴 就是 V1 所在 的 直线,  xn 轴 的 正方向 是 V1 的 方向,   至于 其它 坐标轴  x1, x2, x3  ……   ,  具体 的 不用管,  反正 它们 都在 Sp_n-1,  且  V1 和 它们  正交  。

    让 C_n-1  里 的 全部向量 的 xn 都 增加 一个 微小 的 负增量,    负增量 是指 这个 增量 是 负数,

    则 ,    V1 和 C_n-1  合起来 就是 C_n   。

     

    这个 定理 称为  “n 维 空间 钝角向量 扩展定理”   。

     

    可以 证明 一下 这个 定理,       因为  V1 和 C_n-1  里 所有 的 向量 正交,  所以, V1 和 C_n-1 里 所有向量 两两 成 直角,   

    对于 C_n-1 里 的 一个 向量 V ,    V1 和 V   确定一个 平面,  在 此 平面 上  V1 和 V 成 直角,

    V 的 xn 记为 V_xn  ,    上面说了,  C_n-1 里 所有向量 的 xn = 0 ,  所以,  V_xn = 0,

    容易知道 ,  让 V_xn 增加一个 微小 的 负增量,  即   V_xn = 0 + ⊿ x = ⊿ x  ,     ⊿ x < 0  ,

    这会让  V  的 方向 发生 偏转,    V 和 V1 的 夹角 会 从 直角 变成 钝角 ,

    让 C_n-1 里 的 所有向量 的 xn 都等于   ⊿ x ,  ⊿ x < 0 ,   则 C_n-1 里 所有向量 和 V1 的 夹角 都会 从 直角 变成 钝角  。

     

    又 因为 C_n-1  是 n - 1 维 空间 里 的 两两钝角最多向量,    也就是  C_n-1  里 所有 的 向量 两两之间 的 夹角 都是 钝角,

    每一个 向量 的  xn = ⊿ x  ,   会让   C_n-1  里 所有 的 向量 两两之间 的 夹角  发生 改变,

    但 因为 ⊿ x   很小,    所以,  可以让  C_n-1  里 所有 的 向量 两两之间 的 夹角 虽然 发生改变,  但仍然 保持 钝角  。

     

    这就 证明了  n 维 空间 钝角向量 扩展定理  。

     

    可以把  n 维 空间 钝角向量 扩展定理  扩展一下,   C_n-1 里 的 每个向量 增加 的 ⊿ x ,   ⊿ x < 0 可以  大小不同,   只要 保持 两两钝角 就行 。

    这样的话,   n 维 空间 钝角向量 扩展定理   就是  C_n-1  扩展到 C_n  的 一般形式,    任何 将 C_n-1  扩展到 C_n  的 方法 都可以 表达为 n 维 空间 钝角向量 扩展定理  。

     

     

    还需要 证明一个 定理,   在 三维坐标系 中,  从 原点 O 发出 2 条 射线 OA 、OB ,  A 点坐标 是  ( xa, ya, za ) ,  B 点坐标 是  ( xb, yb, zb )   ,

    za > 0 ,  zb > 0  ,

    OA 、OB 的 夹角 是  ∠ AOB ,

    OA 、OB 在 xy 平面 上 的 投影 是  OA ′ 、OB ′  ,    OA ′ 、OB ′   的 夹角 是  ∠ A ′OB ′  

    若   ∠ A ′OB ′   为 锐角,  则 ∠ AOB  也是 锐角  ,

    若   ∠ A ′OB ′   为 直角,  则 ∠ AOB  也是 锐角  ,

    若  zb = 0,   za -> 正无穷 ,   则  ∠ AOB  ->  90 ° ,   

    若  za = 0,    zb -> 正无穷 ,  则  ∠ AOB  ->  90 ° ,  

    若  za -> 正无穷,   zb -> 正无穷,   则  ∠ AOB  ->  0 °   。

     

    这个 定理 称为  “空间 夹角 投影定理”   。      这个 定理 之后 再证明,  这里 先 略过  。

     

     

    接下来 证明  1 楼 题目  。

     

    根据 n 维 空间 钝角向量 扩展定理,   可以 通过 2 个 步骤 来 获得  C_n  : 

    1  在 n 维空间 里 先 获得 C_n-1  ,  作 一个 向量 V1  与 Sp_n-1 正交, 

    2  让 C_n-1 的 所有向量 的 xn 都 增加一个 ⊿ x , ⊿ x < 0 ,

     

    先做 步骤 1,  

     

    再作 一个 任意向量 V2,    看 在 用  n 维 空间 钝角向量 扩展定理 将 C_n-1 扩展为 C_n 后,  V2 能不能 和 C_n 成 两两钝角 。

     

    1   若 V2 与 V1 成 锐角,     做 步骤 2  之后 V2 与 V1 仍然 成 锐角,    不满足  V1 、V2 、C_n-1 形成 两两钝角  。

    2   若 V2 与 V1 成 钝角,     则 在 O 中,   V2 的 xn < 0 ,    V2 的 xn 记为   V2_xn ,    V2_xn < 0  。   

    设 V2 在  O 里 的 坐标 是   ( V2_x1, V2_x2, V2_x3 …… V2_n-1, V2_xn )  ,     让  V2_xn = 0 ,  得到 一个 向量  ( V2_x1, V2_x2, V2_x3 …… 0 )   ,  这是 V2 在 Sp_n-1 里 的 投影 ,   记为  V2 ′ ,   也就是   V2 ′  =    ( V2_x1, V2_x2, V2_x3 …… V2_xn-1,   0 )   。

     

    因为 C_n-1   是 Sp_n-1  里 的 两两钝角最多向量 ,  在 Sp_n-1 里 再增加 一个 向量,  这个 向量 必然 不和 C_n-1 里 的 任何 一个 向量 成 钝角,  只会 成 锐角 或 直角,   

    所以, 如果 V2 ′  不和 C_n-1 里 的 某一向量 重合,  那么,  必然 和 C_n-1 里 至少一个 向量 成 锐角 或 直角  。

    设 C_n-1 里 和 V2 ′ 成 锐角 或 直角 的 一个 向量 为 V,   V 和 V2 ′  组成 一个 向量平面, 记为 P  。   

    两个 向量 都由 原点 发出时,   两个 向量 组成 的 平面 才是 向量平面,  如果 两个 向量 不是 都由 原点发出, 则 两个向量 组成 的 平面 不是 向量平面,   可以把 向量 平移 到 原点 再组成 向量平面  。

    V 和 V ′ 都由 原点 O 发出 时, 向量平面 是  V 、V2 ′ 和 原点 O 组成 的 平面 。

    因为  V1 和 Sp_n-1  正交,   所以,  V1 垂直于 V2 ′ ,  也 垂直于 V ,  也垂直于 P  。

    此时, 做 步骤 2,   让 V 的 xn  增加 ⊿ x ,  ⊿ x < 0  ,   V 方向 会 发生偏转, 偏转后 的 V 记为 V ′  ,

    V 是 V ′  在  P 上 的 投影,  而 V2 ′  是 V2 在  P 上 的 投影, 

    V 和 V2 ′  的 夹角 是 锐角 或 直角,  根据  空间 夹角 投影定理  ,  V ′  和 V2 的 夹角 是 锐角 。

    即  V ′  和 V2 的 夹角   不是 钝角,    不满足  V1 、V2 、C_n-1 形成 两两钝角  。

     

    如果  V2 ′  和 C_n-1 里 的 某一向量 V 重合,   设 V =  ( V_x1, V_x2, V_x3 ……  V_xn ) ,   V2 ′ = ( V2 ′_x1,  V2 ′_x2,  V2 ′_x3 ……  V2 ′_xn ) ,

    V2 ′  和  V 重合 ,  可以 认为 是 

    V_x1 =  V2 ′_x1

    V_x2 =  V2 ′_x2

    V_x3 =  V2 ′_x3

    ……

    V_xn-1 =  V2 ′_xn-1

    V_xn =  V2 ′_xn  =  0

     

    这些 式子 称为  (1) 式组  。

     

    在 n 维 空间 里,     V_x1, V_x2, V_x3 ……  V_xn-1  可以 确定 一条 直线  L,    L  和  xn 坐标轴 平行,  也就是 和 V1 平行,   L 和 V1 确定 一个平面  Q ,

    可以 认为  向量  由  2 点 组成,  一个 是 坐标系 原点,    一个 是 端点,

    而     (1) 式组  表示  V2 、V2 ′ 、V   的 端点 都 在 L 上,  又因为 原点 在 V1 上, 且  L 和 V1 确定 一个平面  Q  ,

    所以,    V2 、V2 ′ 、V   都 在 平面 Q 上  。

     

    因为    V2 、V2 ′ 、V   都 在 平面 Q 上 ,  V2 ′ 和  V 重合,   V2_xn < 0,   V_xn = 0  ,    可以知道,  V2 和 V 的 夹角 是 锐角,

    做 步骤 2,  让   V_xn =  ⊿ x ,     ⊿ x < 0   ,     V 方向 会 发生偏转, 偏转后 的 V 记为 V ′  ,   V ′   仍然 在 平面 Q 上  。

    可以知道,   V ′ 和 V2  的 夹角 还是 锐角,   不是 钝角,    不满足  V1 、V2 、C_n-1 形成 两两钝角  。

     

     

    3   若 V2 与 V1 成 直角,  和 2 成 钝角 的 情形 类似 ,  同理 可证 ,  做 步骤 2  后,  不满足  V1 、V2 、C_n-1 形成 两两钝角  。

     

    4   若 V2 与 V1 成 平角,  即 V2 是 V1 的 反方向,  则  V2 和 C_n-1 里 的 所有向量 垂直,  V2_xn < 0  ,   做 步骤 2 后,   C_n-1 里 的 所有向量 的 xn 增加 ⊿ x , ⊿ x < 0 ,   易知  C_n-1 里的 所有 向量 和 V2 成 锐角,    不满足  V1 、V2 、C_n-1 形成 两两钝角  。

     

     

    所以,   根据  n 维 空间 钝角向量 扩展定理,  可以 增加 一个 向量 V1,  将  C_n-1 扩展 到 C_n ,   使得  C_n 满足 两两钝角,

    但是 不能 在 C_n 里 再增加 一个 向量 V2 ,   增加 V2 则  V2 和 C_n 不满足  两两钝角  。

     

    而  n 维 空间 钝角向量 扩展定理  是 将 C_n-1 扩展到 C_n  的 一般形式,   这表示,  无论用 什么方法 将 C_n-1 扩展到 C_n,   都 不能 再加 一个 V2,  增加 V2 则   V2 和 C_n 不满足  两两钝角  。

     

    所以  Cn  就是  两两钝角最多向量   。

     

    这个 结论 称为  推论 1,    记为 :

     

    C_n =  C_n-1  ∪  V1        (1) 式

    或者,

    C_n = C_n-1 +  1           (2) 式

     

     

    接下来 开始 从 二维平面 开始 递推 证明,   二维平面 上 两两钝角最多向量 是 3 个 向量,  也就是   C_2 = 3,

    根据   (2) 式,

    三维空间 里 C_3 = C_2 + 1 = 3 + 1 = 4

    四维空间   C_4 = C_3 + 1 = 4 + 1 = 5

    C_5 = C_4 + 1 = 5 + 1 = 6

    C_6 = C_5 + 1 = 6 + 1 = 7

    ……

     

    可见,     n 维 空间 里 最多 只能 有  n + 1 个 向量 成 两两钝角,   也就是 不能 有  n + 2  个 向量 成 两两钝角,   这就 证明了 1 楼 的 题目 。

     

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  • 原文地址:https://www.cnblogs.com/KSongKing/p/13670273.html
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