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  • 做一道题 : 一个 古灵精怪 的 重积分 (讨论篇)

    我前几天 发了一篇文章 《做一道题 : 一个 古灵精怪 的 重积分》  https://www.cnblogs.com/KSongKing/p/13681399.html    ,

     

    网友   nigffb   在  《出一道题:证明在n维欧氏空间中不创造n+2个非零向量》   https://tieba.baidu.com/p/6947806936     的  7 楼  贴出了 部分 答案  ,

     

    下面 是 我在 《出一道题:证明在n维欧氏空间中不创造n+2个非零向量》   里 的 一些 回复  。

     

     

    9 楼

    K歌之王: 原来 是 7 楼 那样 积 啊, 我说 这个 积分 里 有 椭圆积分, 怎么积 ? 7 楼 的 做法 技巧性 太高了, 属于 棋弈型 。

     

    K歌之王: 什么 是 棋弈型 ? 就像 研究 棋谱 和 象棋 围棋 残局 一样, 坐在那里 几十年 , 就在 想 那些 棋谱 和 残局 ……

     

    K歌之王: 我在想, 当 我 步入 老年 的 时候, 会不会 也变成 棋弈型 ……     @银河科学院 @东方学帝

     

     

    10 楼

    不过 这样一来, 椭圆积分 也可以用 这种 方法 积出来 。

     

    关键 是 1/ 根号 ( 1 + x) = ∑ …… 这个公式 。

     

     

    11 楼

    你们 的 积法 用到了 无穷级数, 这算不算 犯规 ?

     

    好吧, 1/ 根号 ( 1 + x) = ∑ …… 展开式 比 泰勒级数 简单多了 ……

     

    这题 可以 再叫 一个 题目 “椭圆积分 展开为 无穷级数” 。

     

     

    12 楼

    这题 还可以 叫作 “万能去根号法 之 级数法” 。

     

     

    13 楼

    好像 也可以用 泰勒级数 给 1 / 根号 ( 1 + x ) 去根号, 好像 也 不复杂 。

     

    等, 1/ 根号 ( 1 + x) = ∑ …… 这似乎 就是 泰勒级数 ?

     

    用 泰勒级数 给 分母 去根号 后, 分母 也 不存在了, 可以 容易 的 算出 级数 的 每一项 的 重积分, 级数 积分 的 结果 也是 一个 级数 。

     

    不知 7 楼 还有 那么 多 步骤 干嘛 ?

     

    是 要 把 结果 从 级数 合并 为 一个 值 吗 ?

     

     

    14 楼

    好吧, 我想简单了一点, 用 泰勒级数 去根号 后,

     

    每一项 要计算 的 积分 是 ʃ ( sin α )^n dα 这种类型的, 并不简单 。

     

    要是 ʃ ( sin α )^n d ( sin α ) 就 简单了 , 呵呵呵呵 ……

     

     

    15 楼

     ʃ ( sin α )^n dα  

    =    ʃ   ( sin α )  *  ( sin α )^(n-1) dα  

    =      ʃ  ( - cos α ) ′  *  ( sin α )^(n-1) dα  

    =    ( - cos α )  *  ( sin α )^(n-1)   -    ʃ  ( - cos α ) *  [ ( sin α )^(n-1) ]  ′  dα  

    =    ( - cos α )  *  ( sin α )^(n-1)   +    ʃ  cos α   *   [ ( sin α )^(n-1) ]  ′  dα  

    =    -   cos α  *  ( sin α )^(n-1)   +   ʃ  cos α  *   ( n - 1 )  *  ( sin α )^(n-2)  *  cos α   dα  

    =    -   cos α  *  ( sin α )^(n-1)   +   ( n - 1 )  *   ʃ  ( cos α ) ²  *  ( sin α )^(n-2)   dα  

    =    -   cos α  *  ( sin α )^(n-1)   +   ( n - 1 )  *   ʃ   [  1 - ( sin α ) ²  ]  *  ( sin α )^(n-2)   dα  

    =    -   cos α  *  ( sin α )^(n-1)   +   ( n - 1 )  *   ʃ   [   ( sin α )^(n-2)  -  ( sin α )^n  ]   dα  

    =     -   cos α  *  ( sin α )^(n-1)   +   ( n - 1 )  *   ʃ   ( sin α )^(n-2)   dα   -    ( n - 1 )  *   ʃ   ( sin α )^n   dα  

     

    n   *    ʃ ( sin α )^n dα    =    -   cos α  *  ( sin α )^(n-1)   +   ( n - 1 )  *   ʃ   ( sin α )^(n-2)   dα 

     ʃ ( sin α )^n dα   =    -  1/n  *  cos α  *  ( sin α )^(n-1)     +    ( n - 1 ) / n   *   ʃ   ( sin α )^(n-2)   dα             (1) 式

     

    根据 (1) 式,  只要 知道    ʃ sin α dα ,  就可以 得到   ʃ ( sin α ) ³ dα ,    ʃ ( sin α ) ⁵ dα ,    ʃ ( sin α ) ⁷ dα   ……

    只要 知道    ʃ ( sin α ) ² dα ,  就可以 得到   ʃ ( sin α ) ⁴ dα ,    ʃ ( sin α ) ⁶ dα ,    ʃ ( sin α ) ⁸ dα   ……

     

     ʃ sin α dα   =   - cos α         (2) 式

     

     ʃ ( sin α ) ² dα 

    =   ʃ ( - cos α  ) ′  sin α  dα 

    =    - cos α  sin α    -    ʃ  - cos α  ( sin α ) ′  dα 

    =     - cos α  sin α    -    ʃ  - cos α  cos α  dα 

    =     - cos α  sin α    +    ʃ  ( cos α ) ²  dα 

    =    - cos α  sin α    +    ʃ   [  1 - ( sin α ) ²  ]  dα 

    =    - cos α  sin α    +   ʃ  dα    -     ʃ   ( sin α ) ²   dα 

     

    2   ʃ ( sin α ) ² dα   =     - cos α  sin α    +   ʃ  dα

    2   ʃ ( sin α ) ² dα   =     - cos α  sin α    +   α

    ʃ ( sin α ) ² dα   =     -  1/2 * cos α  sin α    +   1/2 * α             (3) 式

     

    2747293287q (飞天意面教徒) :        你在整啥

    16 楼

    回复 15 楼   2747293287q (飞天意面教徒),

    用 泰勒级数 去根号 后, 原式 变成一个 级数, 对 级数 的 四重积分 可以 变成 对 级数 的 每一项 的 四重积分,

    而 每一项 四重积分 的 每一重 都是 ʃ ( sin α )^n dα 的 形式, 所以, 只要 求出 ʃ ( sin α )^n dα 就可以 得到 每一项 的 每一重 积分, 进而 得到 每一项 的 积分,

    得到了 每一项 的 积分, 就得到了 本题 结果, 当然 这个 结果 还是 个 级数 。

    15 楼 是在 求 ʃ ( sin α )^n dα 。

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