记录一下 这几天 在 贴吧 里 讨论 的 一些 内容 。
我在 帖 里 是 K歌之王 。
《敢问本吧有没有真数学民科，帮解一题》 https://tieba.baidu.com/p/7443078010 ，
1 楼
mllj ：
这道题是我做理论研究时由物理模型转化成的数学模型，无奈能力有限始终不得解。现放诸网络，寄希望于有数学大才能予指点，万分感谢。
题在下一楼，图片形式
2 楼
mllj ：
mllj: 更正：F（n，k）表示的是Sn=-（n+1）*n+2k时的概率
jmctian: 回复 mllj :如果俺没理解偏差的话，可参考8楼
12 楼
K歌之王 ：
当 a0 = 0 时，满足条件 1、2 的 数列 有 2 个：
[ 0, 1, 0, 1, 0, 1 …… ] ， 记为 A1，
[ 0, -1, 0, -1, 0, -1 …… ] ， 记为 A2 ，
A1 的 S3 = 0 + 1 + 0 + 1 = 2
A2 的 S3 = 0 - 1 + 0 - 1 = -2
如果 可以让 Sn 里 的 a1 可以 任取 A1 的 a1 和 A2 的 a1 这两个 a1 的 其中一个，
a2 可以 任取 A1 的 a2 和 A2 的 a2 这两个 a2 的 其中一个，
……
an 可以 任取 A1 的 an 和 A2 的 an 这两个 an 的 其中一个，
则 S3 可能 是 以下 这样一些 值 ：
S3 = 0 + 1 + 0 + 1 = 2
S3 = 0 - 1 + 0 - 1 = -2
S3 = 0 + 1 + 0 - 1 = 0
S3 = 0 - 1 + 0 + 1 = 0
也就是 2, 0, -2 这 3 个 值， 显然 这和 题目中说 S3 的 值 是 6, 4, 2, 0, -2, -4, -6 不符，
要想 Sn 有 6, 4, 2, 0, -2, -4, -6 ， 应该 n = 6 ， 即 S6 才行 。
K歌之王: 哦，不对， 不是 S6， 是 S11， n = 11
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《有没有这样一道题任意n多边形中一点n分该多边形面积？》 https://tieba.baidu.com/p/7447888526
1 楼
bnllm ：
这个点作图怎么得到？
2 楼
渝中寿人 ：
至少要分凸多边形和凹多边形
9 楼
K歌之王 ：
回复 7 楼 渝中寿人 ， 我先 独立 思考一下 ……
二维平面解析几何 里 ：
1 描述 任意多边形 本来 就 麻烦，
2 要 知道 一个 点 是否 在 多边形 的 内部 也很 麻烦，
3 要 确定 凸多边形 和 凹多边形 也 麻烦，
除了 三角形 以外， 最简单 的 ， 是 四边形， 以 四边形 为例 来 研究 。
已知 四边形 4 个 顶点 的 坐标， 求 4 等分 该 四边形 面积 的 那个点 P，
直接的思路， 求 P 点 和 四边形 的 4 条边 组成的 4 个 三角形 的 面积 表达式，
然后 列方程 让 这 4 个 三角形 的 面积 相等， 解方程 来 得到 P 点坐标 。
但， 这里 涉及 到 一个问题 ： 已知 三角形 3 个 顶点坐标 求 三角形面积 SΔ，
要求 三角形面积， 先要 根据 3 个 顶点 求 出 任意 一条 高 h ， 再 代入 三角形 面积公式 SΔ = 1/2 * 底 * h 求得 SΔ 的 表达式 ，
而 求 h 需要 根据 3 个 顶点 列方程， 这个方程 可能是 一个 高次方程， 它 的 解 可能是 复杂 的 高次根式， 甚至 是 超越数，
求出 h 后， 代入 SΔ = 1/2 * 底 * h 求 得 SΔ，
实际上 是 4 个 三角形 的 面积， SΔ1， SΔ2， SΔ3， SΔ4，
然后， 列方程组 ：
SΔ1 = SΔ2
SΔ2 = SΔ3
SΔ3 = SΔ4
记为 方程组 (1) ，
然后， 解这个 方程组 ， 得到 P 点坐标 ，
h 本身 就 够复杂了， 如果 h 能 解出来，再代入到 SΔ ， 列 方程组 (1) ，
可想而知 方程组 (1) 是 多么 的 bt ，，，
于是，
然后，
就没有 然后 了 。
“重心” 和 等分面积 之间的关系， 我还有点乱， 要 想一想 。
这里 的 P 点，似乎应该叫 “形心” ，
本帖 的 这个 问题 应该是 图形 和 游戏领域 的 经典问题， 应该 有 成熟的解决方案，应该 有 软件库 来 提供 这些 解决方案 。
虽然 有 计算机 解题， 但是 从 数学 的 角度 来 研究， 也很好玩的 。
ylyyjjlh 来， 让 你的 插值大法 上场 。
话说， 把 这个 问题 推广 到 三维空间， 会 怎么样 ？
10 楼
接 9 楼 ，
渝中寿人 是的， 我发了 9 楼以后也发现了， P 点坐标 ( x, y ) ， 是 x, y 2 个 未知数， 只需要 2 个 方程 的 方程组 就可以确定，
也就是说， 第 3 个 方程 是 多余的，
对于 n 边形， 第 4 个 、第 5 个 、第 6 个 …… 方程 也是 多余 的 。
所以， 对于 n > 3 的 n 边形 ， 不存在 点 P， 将之 面积 n 等分 。
那么， 可以 把 题目 改一下， P 点 将 四边形（n 边形） 的 面积 分为 4份（n 份）， 求 这 4 份（n 份） 面积 相差 最小 时 的 P 。
面积相差最小 可以 定义为 比如 把 n 份 面积 从大到小 排个序， 然后 用 最大的减第二大的，第二大的减第三大的，第三大的减第四大的 …… 把 这些 差 加起来，记为 ⊿ S ，
⊿ S 最小 表示 面积相差 最小 。 求 当 ⊿ S 最小时 的 P 。
也可以 引出 另外一个 题， 其实也是对 本题 的 简化 ：
在 二维平面直角坐标系 里 ， 有 A 、B 、C 3 个 点 ， 取一点 P ， ΔABP 的 面积 记为 S△ABP ， ΔBCP 的 面积 记为 S△BCP ，
令 S△ABP = S△BCP ， 可以知道， 满足这个条件 的 P 有 无数个， 且在一条曲线上，求这条曲线 。