昨天 在 数学吧 看到一个 帖 《我真是无语了，居然有这样的证明，明明是先有x和sinx是等价无穷小》 https://tieba.baidu.com/p/7513639815
推导一下 ( sin x ) ′ = cos x ， 天辩阮幼台 （陈彼方）， 来一个 ？
因为 圆 的 对称性， 圆周运动 成为了 主要定理 的 发源地 之一 。 圆周运动 中 涉及 到 圆弧 和 各种 弦 、径， 曲直交汇互动 。
小时候 以为 三角函数 是 三角形 的， 长大了 了解了一些 高等一点 的 数学 （和 物理 ？） 才知道 三角函数 是 圆周运动 的 。
据说 傅里叶级数 也是 圆周运动 。
可以 设计一个 转盘 曲轴 连杆 什么的 装置， 输出 机械正弦波 ， 你 在 这里 摇动 把手 转动转盘， 那边 连杆 带动 一个 小球 什么的 运动， 小球 又 带动 一根 绳子， 小球 运动 让 绳子 “抖起来” ， 绳子 抖动 的 波形 就是 正弦波， 这样 就 输出 正弦波 了 。 也可以 把 小球 放在 水 里 ， 用 水波 来 输出 正弦波， 也就是 正弦水波 。
傅里叶级数 也可以 用 类似 的 装置 来 输出 为 机械波 。
( sin x ) ′ = cos x 是 微积分 大厦 里 的 一个 重要 的 轴承 、支点 、主动力轴 、螺丝钉 。
通过 ( sin x ) ′ = cos x 可以知道 ʃ cos x dx = sin x ， 也可以知道 ( cos x ) ′ = - sin x 和 ʃ sin x dx = - cos x 。
这就知道了 sinx 和 cos x 的 积分， 包括 原函数 和 定积分， 这 可 不得了 。
积分 是 比较难 推导 的 ， 用 数列和 极限 的 方法 只能 推导出 少数 简单 和 特例 的 积分 。
你 用 数列和 极限 推导 sin x 的 （定）积分 试试 …… ？
sin x 的 导数 是 cos x ， cos x 的 原函数 是 sin x ， 这 很 神奇， 很 巧合， 意料之外， 情理之中 。
出乎 我 的 意料， 但从 推导过程 上 看， 在 情理 上 又 很容易 的 接受 了 ， 这 大概 就是 圆周运动（圆） 的 对称性 基本性 优美和谐 吧 。
分式积分 和 自然对数 有关，
根式积分 和 ( sin x ) ′ = cos x 有关，
椭圆积分 可以 用 ( sin x ) ′ = cos x 变形 和 求出 一些 积分项 的 积分 ，
二体问题 的 经典解法 全盘 和 ( sin x ) ′ = cos x 相关 ，
简单的 匀加速 / 变加速 / 曲线 / 相遇 运动 和 ( sin x ) ′ = cos x 相关 。
( sin x ) ′ = cos x 为 微积分 的 发展 打开了一道 大门 。
欧拉公式 和 傅里叶级数 也 发乎 ( sin x ) ′ = cos x 。
“欧拉公式 和 傅里叶级数 也 发乎 ( sin x ) ′ = cos x 。” 这句话 是 我 随便 说 的 。
我 估计 当初 最早 推导出 ( sin x ) ′ = cos x 的 数学家 肯定 内心 狂喜 ， 心中 充满了 建设 微积分 大厦 的 憧憬 信心 和 构想 。