《数学竞赛和物理竞赛的强度差距有多大？》 https://www.zhihu.com/question/348296109/answer/2058029911
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上图 是 https://www.zhihu.com/question/348296109/answer/1914288599 这个 回答 。
橙色线 划 的 第一道题 ： 蚂蚁速度与距离成反比，求爬行时间。
用 微元法 解 ：
设 距离 为 s ， 时间 为 t ， 将 s 分为 一小份一小份 的， 每一份 为 ⊿ s ， 让 ⊿ s 很小， 趋于 0， 即 ⊿ s -> 0 ， 可以写成
⊿ s = s / n , n ∈ N , n -> 无穷
因为 速度 与 距离 成 反比 ， 即
v = k / s , k 为 常数
于是，
t = ⊿ s / [ k / ⊿ s ] + ⊿ s / [ k / ( 2 ⊿ s ) ] + ⊿ s / [ k / ( 3 ⊿ s ) ] + …… + ⊿ s / [ k / ( n ⊿ s ) ] , n ∈ N , n -> 无穷
= ⊿ s ² / k + 2 ⊿ s ² / k + 3 ⊿ s ² / k + …… + n ⊿ s ² / k
= ⊿ s ² / k * ( 1 + 2 + 3 + …… + n )
= ⊿ s ² / k * ( n ² + n ) / 2
= ( s / n ) ² / k * ( n ² + n ) / 2
= s ² / ( k n ² ) * ( n ² + n ) / 2
= s ² / ( k n ² ) * n ² / 2 + s ² / ( k n ² ) * n / 2
= s ² / ( 2 k ) + s ² / ( 2 k n )
因为 n -> 无穷， s ² / ( 2 k n ) -> 0 ， 可以 忽略， 可 舍去 ， 于是 ，
t = s ² / ( 2 k )
= 1/2 * s ² / k
用 微分方程 解 ：
由题意， 可列 微分方程
ds / dt = k / s , k 为 常数
解 微分方程，
s ds = k dt
两边积分，
ʃ s ds = ʃ k dt
1/2 s ² = k t
t = 1/2 * s ² / k
第二题 ， 轨迹 的 微分方程 是 dr / r = - tan θ dθ 。
dr / r = - tan θ dθ
两边积分，
ʃ dr / r = ʃ - tan θ dθ
ln r = - ʃ tan θ dθ (1) 式
ʃ tan θ dθ
= ʃ sin θ / cos θ dθ (2) 式
因为 d ( sin θ ) / dθ = cos θ ，
dθ = d ( sin θ ) / cos θ (3) 式
将 (3) 式 代入 (2) 式 ，
ʃ sin θ / cos θ dθ
= ʃ sin θ / cos θ * d ( sin θ ) / cos θ
= ʃ sin θ / ( cos θ ) ² * d ( sin θ )
= ʃ sin θ / [ 1 - ( sin θ ) ² ] * d ( sin θ ) (4) 式
设 u = sin θ ， 代入 (4) 式
ʃ sin θ / [ 1 - ( sin θ ) ² ] * d ( sin θ )
= ʃ u / ( 1 - u ² ) * du
= ʃ 1/2 * 2 u / ( 1 - u ² ) * du
因为 d ( u ² ) / du = 2u， d ( u ² ) = 2u du ， 代入上式，
= 1/2 * ʃ 1 / ( 1 - u ² ) * d ( u ² )
= - 1/2 * ʃ 1 / ( 1 - u ² ) * d ( 1 - u ² )
= - 1/2 * ln | 1 - u ² |
将 u = sin θ 代回，
= - 1/2 * ln | 1 - ( sin θ ) ² |
= - 1/2 * ln ( cos θ ) ²
= - ln | cos θ |
即 ʃ tan θ dθ = - ln | cos θ | ， 代回 (1) 式 ，
ln r = - ʃ tan θ dθ
= ln | cos θ |
即 r = | cos θ |
即 轨迹方程 是 r = | cos θ |
做完了才发现， 用 dθ = - d ( cos θ ) / sin θ 代入的话， ʃ tan θ dθ 一步 就 积出来了 。
知乎问题《如何成为数学系大佬?》里 的 一个 回答 ： https://www.zhihu.com/question/324016935/answer/690972258
《如果现在中国人中出现一位欧拉或者希尔伯特之类的数学家并全职留在国内，是否会影响中国数学进步的进程？》 https://www.zhihu.com/question/450742382/answer/1795855590
又看到一题（数学吧 的）， 《毫无头绪…》 https://tieba.baidu.com/p/7542471768 ，
我 不小心 看了 一下 3 楼 的 答案 。 思维机器