知乎 《有什么你认为很简单的问题实际的证明却很复杂？》 https://www.zhihu.com/question/463594376/answer/1927521976
等腰三角形 角平分线 这题， 我想可以 这样 证， 首先， 可以证明， 一个 等腰三角形 的 两个底角 角平分线 长度 是 相等 的 ， 然后， 可以证明， 改变 顶角 顶点 的 位置， 可以让 等腰三角形 变成 任何形状 的 三角形， 如图 ：
∠ ACB 为 顶角， C 点 为 顶角顶点， AF 和 BE 是 ∠ CAB 和 ∠ CBA 的 角平分线 。 改变 C 点 的 位置 可以 平移 和 竖移， 平移 是 沿着 和 AB 平行 的 方向 移动， 竖移 是 沿着 CH 直线 移动 。 若 只 竖移， 则 Δ ABC 始终 是 等腰三角形， 接下来 只要 证明 ， 若 发生 横移， 让 AF 和 BE 仍然是 ∠ CAB 和 ∠ CBA 的 角平分线 ， 则 AF 和 BE 长度不等 。
AE 和 BF 的 长度 关系 可以 由 解析几何 、半角公式 证明， 是 一些 直线 的 相交问题 。
一个 关键 的 问题 是 ， 先证明 等腰三角形 的 两个底角 角平分线长度 是 相等的， 再 提出 改变 C 点 位置 可以让 等腰三角形 变成 任何形状 的 三角形， 如此， 改变 C 点 的 位置 后， 得到 新三角形， 若 新三角形 不是 等腰三角形， 则 原 两底角 变形 后 的 新角 的 角平分线 长度 不等 。 证明了 这一个 命题 ， 是否 就 证明 了 原题 ？
我们想说的是， 改变 C 点 位置 可以 变形 为 任何形状 的 三角形， 但 改变 C 点 位置 后， 只有 等腰三角形 仍然 保持 角平分线 长度相等， 其它 形状 的 三角形 的 角平分线 长度不等， 于是， 角平分线 长度相等 必然 是 等腰三角形 。
这个 证明框架 、逻辑框架 、逻辑推理 是不是 一个 合格 、严格 的 数学证明 ？
可以 用 解析几何 直接 证明 ，
设 OA 、 AB 、 OF 、 BE 斜率 为 k1, k2, k3, k4 ， OB 长 为 L ，
OA 的 直线方程 ： y = k1 x
AB 的 直线方程 ： y = k2 ( x - L )
OF 的 直线方程 ： y = k3 x
BE 的 直线方程 ： y = k4 ( x - L )
OA 、BE 联立 方程组 求 交点 E ，
y = k1 x
y = k4 ( x - L )
解
k1 x = k4 x - k4 L
( k4 - k1 ) x = k4 L
x = k4 L / ( k4 - k1 )
y = k1 k4 L / ( k4 - k1 )
即 E 点 坐标 Xe = k4 L / ( k4 - k1 ) ， Ye = k1 k4 L / ( k4 - k1 )
AB 、OF 联立 方程组 求 交点 F ，
y = k2 ( x - L )
y = k3 x
解
k3 x = k2 x - k2 L
k2 x - k3 x = k2 L
( k2 - k3 ) x = k2 L
x = k2 L / ( k2 - k3 )
y = k3 k2 L / ( k2 - k3 )
即 F 点 坐标 Xf = k2 L / ( k2 - k3 ) ， Yf = k3 k2 L / ( k2 - k3 )
OF ² = ( Xf - 0 ) ² + ( Yf - 0 ) ²
= Xf ² + Yf²
BE ² = ( Xe - L ) ² + ( Ye - 0 ) ²
= ( Xe - L ) ² + Ye ²
因为 OF = BE ， OF ² = BE ²
Xf ² + Yf² = ( Xe - L ) ² + Ye ²
k2 ² L ² / ( k2 - k3 ) ² + k3 ² k2 ² L ² / ( k2 - k3 ) ² = [ k4 L / ( k4 - k1 ) - L ] ² + k1 ² k4 ² L ² / ( k4 - k1 ) ²
k2 ² L ² / ( k2 - k3 ) ² + k3 ² k2 ² L ² / ( k2 - k3 ) ² = [ ( k4 L - k4 L + k1 L ) / ( k4 - k1 ) ] ² + k1 ² k4 ² L ² / ( k4 - k1 ) ²
k2 ² L ² / ( k2 - k3 ) ² + k3 ² k2 ² L ² / ( k2 - k3 ) ² = k1 ² L ² / ( k4 - k1 ) ² + k1 ² k4 ² L ² / ( k4 - k1 ) ²
k2 ² / ( k2 - k3 ) ² + k3 ² k2 ² / ( k2 - k3 ) ² = k1 ² / ( k4 - k1 ) ² + k1 ² k4 ² / ( k4 - k1 ) ²
k2 ² / ( k2 - k3 ) ² + k2 ² k3 ² / ( k2 - k3 ) ² = k1 ² / ( k1 - k4 ) ² + k1 ² k4 ² / ( k1 - k4 ) ² (1) 式
(1) 式 方程 的 一组解 是
k1 = k2
k3 = k4
记为 解 1，
另一组 解 是
k1 = - k2
k3 = - k4
记为 解 2，
解 1 里 OA 平行于 AB， OF 平行于 BE， 不能 组成 三角形 OAB ， 不符题意 。
解 2 可以 满足题意 。 斜率 为 相反数， OA AB OB 组成 三角形 OAB， ∠ AOB = ∠ ABO， ∠ FOB = ∠ EBO ， 三角形 OAB 是 等腰三角形 。 当然， OF 、BE 可能在 三角形 内部，也可能在 三角形 外部， 若 在 三角形外部， E 、F 在 OA 、AB 的 延长线 上 。
除了 解 1 、解 2， (1) 式 方程 还有没有 其它 的 解 ？ 不知道 。 (1) 式 方程 是 四元不定方程， 应该有 无数组解 。
这里 应该说， k3 是 k1 的 角平分线， k4 是 k2 的 角平分线 ， 对于 一个 确定 的 k1 , 有 几个 k2 满足 (1) 式 ？
设 k3 = n * k1 ， k4 = n * k2 ， n 为 正实数 。
当 n = 0.5 时， k3 是 k1 的 角平分线， k4 是 k2 的 角平分线 。
将 k3 = n * k1 ， k4 = n * k2 代入 (1) 式
k2 ² / ( k2 - n k1 ) ² + k2 ² ( n k1 ) ² / ( k2 - n k1 ) ² = k1 ² / ( k1 - n k2 ) ² + k1 ² ( n k2 ) ² / ( k1 - n k2 ) ²
k2 ² ( k1 - n k2 ) ² + k2 ² ( n k1 ) ² ( k1 - n k2 ) ² = k1 ² ( k2 - n k1 ) ² + k1 ² ( n k2 ) ² ( k2 - n k1 ) ²
k2 ² ( k1 ² - 2 n k1 k2 + n ² k2 ² ) + k2 ² n ² k1 ² ( k1 ² - 2 n k1 k2 + n ² k2 ² ) = k1 ² ( k2 ² - 2 n k1 k2 + n ² k1 ² ) + k1 ² n ² k2 ² ( k2 ² - 2 n k1 k2 + n ² k1 ² )
k1 ² k2 ² - 2 n k1 k2 ³ + n ² k2 ⁴ + n ² k1 ⁴ k2 ² - 2 n ³ k1 ³ k2 ³ + n ⁴ k1 ² k2 ⁴ = k1 ² k2 ² - 2 n k1 ³ k2 + n ² k1 ⁴ + n ² k1 ² k2 ⁴ - 2 n ³ k1 ³ k2 ³ + n ⁴ k1 ⁴ k2 ²
- 2 n k1 k2 ³ + n ² k2 ⁴ + n ² k1 ⁴ k2 ² = - 2 n k1 ³ k2 + n ² k1 ⁴ + n ² k1 ² k2 ⁴
- 2 k1 k2 ³ + n k2 ⁴ + n k1 ⁴ k2 ² = - 2 k1 ³ k2 + n k1 ⁴ + n k1 ² k2 ⁴ (2) 式
以 k1 为 已知数， k2 为 未知数， 接下来 要 证明 的 是， (2) 式 方程 只有 k2 = - k1 这一个 根， 或者 若有 多个 根， 应该 只有 k2 = - k1 这个 根 满足题意， 这样 就可以 证明 当 (2) 式 方程 成立时，也就是 OF = BE 时， 只 可能 是 k2 = - k1 这 一个 根 的 情况， 而不会 是 其它 根 的 情况 。
k2 = - k1 表示 三角形 是 等腰三角形，
也就是， 当 (2) 式 方程 成立时，也就是 OF = BE 时， 只 可能 是 等腰三角形 ， 不可能 是 其它 情况 。
对 (2) 式 整理
n k2 ⁴ - n k1 ² k2 ⁴ - 2 k1 k2 ³ + n k1 ⁴ k2 ² + 2 k1 ³ k2 - n k1 ⁴ = 0
n ( k2 ⁴ - k1 ⁴ ) - n k1 ² k2 ² ( k2 ² - k1 ² ) - 2 k1 k2 ( k2 ² - k1 ² ) = 0
n ( k2 ² + k1 ² ) ( k2 ² - k1 ² ) - n k1 ² k2 ² ( k2 ² - k1 ² ) - 2 k1 k2 ( k2 ² - k1 ² ) = 0
( k2 ² - k1 ² ) [ n ( k2 ² + k1 ² ) - n k1 ² k2 ² - 2 k1 k2 ] = 0
第一组 解
k2 ² - k1 ² = 0
k2 ² = k1 ²
k2 = k1 ， 解 1
k2 = - k1 ， 解 2
第二组 解
n ( k2 ² + k1 ² ) - n k1 ² k2 ² - 2 k1 k2 = 0
n k2 ² + n k1 ² - n k1 ² k2 ² - 2 k1 k2 = 0
( n - n k1 ² ) k2 ² - 2 k1 k2 + n k1 ² = 0
这是 一个 一元二次方程， 它 的 判别式 b ² - 4 a c = ( - 2 k1 ) ² - 4 ( n - n k1 ² ) n k1 ²
= 4 k1 ² - 4 n ² k1 ² + 4 n ² k1 ⁴
当 k1 != 0 时， 假设 4 k1 ² - 4 n ² k1 ² + 4 n ² k1 ⁴ > 0
4 k1 ² - 4 n ² k1 ² + 4 n ² k1 ⁴ > 0
1 - n ² + n ² k1 ² > 0
n ² k1 ² > n ² - 1
k1 ² > ( n ² - 1 ) / n ²
如果 0 < n < 1 ， 则 ( n ² - 1 ) / n ² < 0 ， 而 k1 ² > 0 ， 故 k1 ² > ( n ² - 1 ) / n ² 不成立， 也就是 当 k1 != 0， 0 < n < 1 时， 判别式 4 k1 ² - 4 n ² k1 ² + 4 n ² k1 ⁴ > 0 不成立， 也就是 没有 实根 。
所以， 当 k1 != 0， 0 < n < 1 时， 方程 只有 k2 = k1， k2 = - k1 这 两个 根， 上面 已经 分析过， k2 = k1 不是 三角形 的 情况， 而 k2 = - k1 是 三角形， 于是， (2) 式 方程 只有 k2 = - k1 这一个 根 符合题意 。
也就是， 当 三角形 两个 角 的 n 分线 （0 < n < 1 ） 到 对边 的 长度 相等 时， 必然 推出 k2 = - k1 ， 也就是 三角形 的 两个角 相等， 也就是 三角形 是 等腰三角形 。
于是， 就证明了 当 三角形 两个 角 的 n 分线 （0 < n < 1 ） 到 对边 的 长度 相等 时， 两个角 相等， 即 三角形 是 等腰三角形 。
这里 k1 != 0， 0 < n < 1 ， 当 n = 1/2 时， n 分线 就是 二等分线，也就是 角平分线 。
另外，当 n > 1 时， k1 ² > ( n ² - 1 ) / n ² 或 k1 ² = ( n ² - 1 ) / n ² 可以成立， 若 k1 ² > ( n ² - 1 ) / n ² ， 则 判别式 4 k1 ² - 4 n ² k1 ² + 4 n ² k1 ⁴ > 0 ， 有 2 个 实根， 因为 n > 1 ， 这 2 个 实根 对应 的 OF 、BE 都在 三角形 的 外面， E 点 、F 点 在 OA 、AB 的 延长线 上 ， 大概 推想了 一下， 这 2 个 实根 的 情况 也是 存在的， 也能满足 OF = BE 。
这 2 个 实根 记为 解 3 、解 4 。
若 k1 ² = ( n ² - 1 ) / n ² ， 则 判别式 4 k1 ² - 4 n ² k1 ² + 4 n ² k1 ⁴ = 0 ， 有 一个 实根， 记为 解 3 。
一开始 想用 函数 和 反函数 完全一样 的 特殊性 来 证明 (2) 式 方程 的 解 只有 k2 = k1， k2 = - k1 ， 但 不太成功 。 进一步， 还发现 用 一个 或 一些 等式 代入/运算 若干次， 得到 的 仍然 是 一个 等式， 这个 等式 可以看作 一个 方程， 这个 方程 的 解 包含了 这些 等式， 但 也 有 其它 的 解 。
(1) 式 是 一个 对称 的 等式， (2) 式 也是一个 对称 的 等式 。 (2) 式 是 关于 k1 , k2 对称 的 等式 、方程 。 (2) 式 中 ， k1 和 k2 存在 隐函数关系， 两者 的 隐函数 互为 反函数， 且 完全一致 。 就是说 两个 隐函数 是 完全相同的，是 同一个 函数，但是 又 互为 反函数， 也就是 函数 和 反函数 是 同一个函数 。
函数 和 反函数 是 同一个 函数 的 情况 是 比较 特殊 的， 可以 写作 f ( x ) = f -¹ ( x ) 。
可以认为 若 f ( x ) = f -¹ ( x ) 成立， 则 f ( x ) 和 f -¹ ( x ) 的 函数曲线 以 y = x 直线 为 对称轴 成 轴对称， 且 f ( x ) 和 f -¹ ( x ) 的 函数曲线 重合 。
这样 的 函数 有 y = x ， y = -x ， y = - x + b ， y ² = r ² - x ² ……
实际上， 只要 f ( x ) 的 函数曲线 是 以 y = x 直线 为 对称轴 成 轴对称， 当然 f ( x ) 和 f -¹ ( x ) 的 函数曲线 是 重合 的 。
但 (2) 式 的 特殊之处 是 等号两边 的 对称项 是 同号 的 ， 像 y = - x + b 这一类 并不能 写成 这种形式 。
这题 是不是 只能用 解析几何 证明 ？ 这是个 问题 。
用 纯 平面几何 可以 做一些 条件（范围）下 的 证明， 就是 证明 一些 部分情况 ， 但 效果 也 不太好 。 细分下来 的 情况 也比较多， 说起来 挺啰嗦的， 就 不 具体 说了 。