1 / x * x = 1， 所以， 1 / x 和 x 是 同阶 且 等价 的 无穷大 和 无穷小， 这里 同阶 的 意思 是 相乘 的 结果 是 常数， 等价 是 相乘 的 结果 是 1 。
等价无穷小， 同阶无穷小， 高阶无穷小， 等价无穷大， 同阶无穷大， 高阶无穷大， 这些 是 加减乘除 四则运算 这一层面 的 概念 ， 也可以算上 乘方 开方 。
但 当 变量 x 同时出现在 底数 和 指数 时， 情况 就 一样了， 底数 和 指数 之间 不能 “约分” 或 “相减” 。 比如， 底数 是 无穷小， 指数 是 无穷大， 两者 等价，或者 同阶， 但 并不能 通过 约分 或 相减 约掉消掉 化简 。
那 要 怎么计算 ( 1 / x ) ^ x , x -> 无穷 的 极限 呢 ？
( 1 / x ) ^ x , x -> 无穷
= [ e ^ ln ( 1 / x ) ] ^ x
= e ^ [ ln ( 1 / x ) * x ]
这样， 只要 求得 ln ( 1 / x ) * x , x -> 无穷 的 极限 就可以 知道 ( 1 / x ) ^ x , x -> 无穷 的 极限 了 。
当 x -> 无穷 时， 1 / x -> 0 ， ln ( 1 / x ) -> - 无穷 ， x -> 无穷， ln ( 1 / x ) * x = - 无穷 * 无穷 = - 无穷
( 1 / x ) ^ x , x -> 无穷
= e ^ [ ln ( 1 / x ) * x ]
= e ^ ( - 无穷 )
-> 0
做完了以后， 发现， 其实 ( 1 / x ) ^ x , x -> 无穷 的 答案 看 就可以看出来， 当 x -> 无穷 时， 1 / x -> 0 ， 是 无穷小， 无穷小 的 无穷次方 当然 更 趋于 0 了， 也是 无穷小 。
不过， 因为 ( 1 / x ) ^ x 里， x 同时 出现在 底数 1 / x 和 指数 x 里， 所以， 看起来 还是 有一点迷惑性的 。
这里 也可以用 2 、10 或 其它 数 为 底 的 对数， 但 自然对数 的 好处 是 ， 积分 和 求导数 都 实现 了， 自然对数 向上 n 阶积分 和 向下 n 阶求导 都 打通了， 可以用 洛必达法则 求 包含 自然对数 的 0 / 0 型 极限， 泰勒展开 也可以 。 当然， ( 1 / x ) ^ x , x -> 无穷 很简单， 没有 用到 0 / 0 型 极限 。
其实 还有 两个 极限 比 ( 1 / x ) ^ x , x -> 无穷 有趣， 它们 是 x ^ x , x -> 0 和 ( 1 / x ) ^ x , x -> 0 。
x ^ x , x -> 0
= ( e ^ ln x ) ^ x
= e ^ ( x * ln x )
求出 x * ln x , x -> 0 的 极限， 就可以求出 e ^ ( x * ln x ) , x -> 0 的 极限 。
x * ln x , x -> 0 ， 因为 x -> 0 ， ln x -> - 无穷 ， 是 0 * 无穷 型 极限， 转成 0 / 0 后 用 洛必达法则，
x * ln x , x -> 0
= x / ( 1 / ln x )
= x ′ / ( 1 / ln x ) ′
= 1 / [ - 1 / ( ln x ) ² * 1 / x ]
= - x / [ 1 / ( ln x ) ² ] (1) 式
分子 x -> 0 ， 分母 1 / ( ln x ) ² -> 0， 还是 0 / 0 型， 再用 洛必达法则，
( - x ) ′ / [ 1 / ( ln x ) ² ] ′
= - 1 / [ - 2 / ( ln x ) ³ * 1 / x ]
= 1 / 2 * x / [ 1 / ( ln x ) ³ ]
分子 x -> 0 ， 分母 1 / ( ln x ) ³ -> 0， 还是 0 / 0 型， 看得出来， 再用 洛必达法则， 仍然是 0 / 0 ， 一直用下去， 无论 洛 多少次， 永远都是 0 / 0， ln x 的 次方 越来越大 。
咦 ？ 洛必达法则 不灵 了 ？
想想办法，可以这样，
由 (1) 式 ，
x * ln x , x -> 0 = - x / [ 1 / ( ln x ) ² ]
x * ln x = - x / [ 1 / ( ln x ) ² ]
x * ln x = - x * ln x / ( 1 / ln x )
若 x * ln x 不等于 0 ， 则 可 约掉，
1 = - 1 / ( 1 / ln x )
1 = - ln x
因为 x -> 0 ， ln x -> - 无穷 ， 则
1 = - - 无穷
1 = 无穷
显然， 这是 不成立 的， 也就是， x * ln x 不等于 0 不成立， 也就是 x * ln x 应该 等于 0 ， 即
x * ln x = 0
但这里是 求 极限， 在 过程 里 假设 x * ln x 不等于 0 ， 结果 又是 x * ln x = 0， 如此 毫无顾忌 的 肆无忌惮 的 明目张胆 的 使用 “等于” 、“不等于”， 且 过程 还 认为 0 * 无穷 = 0， 凡此种种， 会不会有问题 ？ 会不会 隐藏了 逻辑错误 和 数理错误 而 过程 和 结果 是 错误 的 ？
严格一点， 应该说，
x * ln x -> - x * ln x / ( 1 / ln x )
若 x * ln x 是 常数， 则
常数 -> 无穷
这不成立， 排除 这种情况 。
x * ln x -> - x * ln x / ( 1 / ln x )
若 x * ln x 是 无穷， 则
无穷 -> 无穷 / 无穷小
无穷 -> 高阶无穷
这不成立， 排除 这种情况 。
x * ln x -> - x * ln x / ( 1 / ln x )
若 x * ln x 是 无穷小， 和 ( 1 / ln x ) 同阶， 则
无穷小 -> 常数
这不成立， 排除 这种情况 。
x * ln x -> - x * ln x / ( 1 / ln x )
若 x * ln x 是 无穷小， 比 ( 1 / ln x ) 低阶， 则
无穷小 -> 无穷
这不成立， 排除 这种情况 。
x * ln x -> - x * ln x / ( 1 / ln x )
若 x * ln x 是 无穷小， 比 ( 1 / ln x ) 高阶， 则
高阶无穷小 -> 无穷小
这可以成立， 这也就是 结论， x * ln x 是 无穷小， 即
x * ln x -> 0
要 澄清一点， 为什么 “无穷 -> 高阶无穷” 不成立， 而 “高阶无穷小 -> 无穷小” 成立 呢 ？ 因为 无穷 - 高阶无穷 = - 无穷， 而 高阶无穷小 - 无穷小 = 无穷小 -> 0 。
“无穷 -> 高阶无穷” 也 可以 写成 “高阶无穷 -> 无穷”， 两者 是 一样 的 。
“高阶无穷小 -> 无穷小” 也 可以 写成 “无穷小 -> 高阶无穷小”， 两者 是 一样 的 。
“无穷小 -> 高阶无穷小” 和 “无穷 -> 高阶无穷” 这种 无穷量 之间 的 趋近关系 似乎 是 我 在 这里 发明 的 ， 这 参考了 数列 的 极限 的 定义 。
把 数列 的 极限 的 定义 扩展一下， 就可以 得出 这种 无穷量 之间 的 趋近关系 定义 。 趋近关系 也可以说 趋近行为 。
这种 无穷量 的 趋近行为 也许可以 解决 一些 问题， 比如 上面的 求 x * ln x , x -> 0 极限 问题 。 也可以 让 我们 发现 一些 特殊 的 极限现象， 进一步 了解 极限 的 意义 和 奥秘 。
由上， x * ln x , x -> 0 = 0 ， 所以，
x ^ x , x -> 0
= e ^ ( x * ln x )
= e ^ 0
= 1
x ^ x , x -> 0 = 1 (2) 式
这里 又 引出了 民科吧 争论 的 0.9999 …… = 1 的 问题 。 因为 0.9999 …… = 1 ， 所以 0.0000……1 = 0 ，
0.0000……1 是 无穷小， x -> 0 也是 无穷小， 也就是 0.0000……1 = x -> 0 ， 也就是 当 x -> 0 时， x = 0.0000……1
于是，
x ^ x , x -> 0
= 0.0000……1 ^ x
= 0 ^ x
0 ^ x , x -> 0 等于多少 ？ 因为 x -> 0， x = 0.0000……1 = 1 / 无穷 ， 0 ^ x , x -> 0 = 0 ^ ( 1 / 无穷 ) = 0 开无穷次方
0 开无穷次方 等于多少 ？ 无数个 0 相乘 等于 0， 所以， 0 开无穷次方 等于 0 ， 即 0 ^ x , x -> 0 = 0
于是，
x ^ x , x -> 0
= 0.0000……1 ^ x
= 0 ^ x
= 0
x ^ x , x -> 0 = 0 (3) 式
上面 算出来 的 x ^ x , x -> 0 = 1 ， 见 (2) 式， 现在 算出来 的 x ^ x , x -> 0 = 0 ， 见 (3) 式 ， 1 != 0 ， 这 两个 结果 是 矛盾 的 。
这个 现象 就和 0.9999 …… = 1 矛盾了， 因为 如果 0.9999 …… = 1 ， 那么 (2) 式 和 (3) 式 算出来 的 x ^ x , x -> 0 应该 相等 。
事实上， 根据 0.0000……1 = 0 ， 应该是，
x ^ x , x -> 0
= 0.0000……1 ^ 0.0000……1
= 0 ^ 0
把 底数 和 指数 的 两个 x 都 换成 0， 但 问题 是， 0 ^ 0 没有 办法计算 。
0 ^ 0 等于多少， 这个 是 谁也说不清楚 的， 虽然 不能 直接计算， 但 我们可以 间接 的 计算， 比如 上面 的 (2) 式 (3) 式 ， 归纳一下， 可以有 三种方式， 当然 也可以更多 ：
x ^ x , x -> 0
= 0.0000……1 ^ 0.0000……1
= 1
这是 (2) 式 的 做法
x ^ x , x -> 0
= 0.0000……1 ^ 0.0000……1
= 0 ^ 0.0000……1
= 0
这是 (3) 式 的 做法
x ^ x , x -> 0
= 0.0000……1 ^ 0.0000……1
= 0.0000……1 ^ 0
= 1 (4) 式
请 给 我们 一个 理由， 我们 应该 选择 (2) 式 ？ (3) 式 ？ 还是 (4) 式 ？
莫非 函数 y = x ^ x 应该选择 (2) 式 ？ 函数 y = 0 ^ x 应该选择 (3) 式 ？ 函数 y = x ^ 0 应该 选择 (4) 式 ？
如果 数学 规定 0 ^ 0 = 1 ， 对 y = 0 ^ x 如何交代 ？
但 y = x ^ x 凭什么 一定 选择 (2) 式 ？ 理由 是 什么 ？ y = x ^ x 选择 (3) 式 也可以嘛 。
由此可见， 0.9999 …… = 1 是 在 某些 场景 的 一个 解释， 这些 场景 可以 适应 和 兼容 0.9999 …… = 1 这个 解释 。 也可以说， 0.9999 …… = 1 是 为了 实现 某些 需求 的 一个解释， 这个解释 在 一定 的 条件下 合理 、可成立 。 如果 这些 需求 兼容 0.9999 …… = 1 合理 所需 的 条件， 则 在 这些 需求场景 下， 就可以 使用 0.9999 …… = 1 这个解释 。
其实 不是 我 老想着 0.9999 …… = 1 问题， 是 这里 又 碰到了， 哈哈 。 当然 平时 在 各种 数学问题 中， 似乎 也 总能想起 0.9999 …… = 1 和 无穷 等 问题 。 另外， 民科吧 天天吵 0.9999 …… = 1 吵得 我 想 不关注 也 不行 。
接下来 看看 ( 1 / x ) ^ x , x -> 0 ， 这是 无穷 的 0 次方 。
( 1 / x ) ^ x , x -> 0
= [ e ^ ln ( 1 / x ) ] ^ x
= e ^ [ x * ln ( 1 / x ) ]
x * ln ( 1 / x ) , x -> 0
= x / [ 1 / ln ( 1 / x ) ]
x -> 0 ， 1 / x -> 无穷 ， ln ( 1/ x ) -> 无穷 ， 1 / ln ( 1/ x ) -> 0
x / [ 1 / ln ( 1/ x ) ] 是 0 / 0 型 极限， 用 洛必达法则，
x / [ 1 / ln ( 1 / x ) ] , x -> 0
= ( x ) ′ / [ 1 / ln ( 1 / x ) ] ′
= 1 / { - 1 / [ ln ( 1 / x ) ] ² * x * ( - 1 / x ² ) }
= x / { 1 / [ ln ( 1 / x ) ] ² }
x -> 0 ， ln ( 1 / x ) -> 无穷 ， [ ln ( 1 / x ) ] ² -> 无穷 ， 1 / [ ln ( 1 / x ) ] ² -> 0
x / { 1 / [ ln ( 1 / x ) ] ² } 还是 0 / 0 型 极限， 接着 用 洛必达法则，
x / { 1 / [ ln ( 1 / x ) ] ² } , x -> 0
= ( x ) ′ / { 1 / [ ln ( 1 / x ) ] ² } ′
= 1 / { - 2 / [ ln ( 1 / x ) ] ³ * x * ( - 1 / x ² ) }
= 1 / 2 * x / { 1 / [ ln ( 1 / x ) ] ³ }
x -> 0 ， ln ( 1 / x ) -> 无穷 ， [ ln ( 1 / x ) ] ³ -> 无穷 ， 1 / [ ln ( 1 / x ) ] ³ -> 0
x / { 1 / [ ln ( 1 / x ) ] ³ } 还是 0 / 0 型 极限， 看得出来， 再用 洛必达法则， 仍然是 0 / 0 ， 一直用下去， 无论 洛 多少次， 永远都是 0 / 0， ln ( 1 / x ) 的 次方 越来越大 。
这个 0 / 0 无限连 的 情况 和 上面 x ^ x , x -> 0 一样 。 额 …… 洛必达 又 不灵 了 。
但 我们可以用 和 x ^ x , x -> 0 一样 的 办法 ， 求得 ( 1 / x ) ^ x , x -> 0 的 极限 是 1 ， 即
( 1 / x ) ^ x , x -> 0 = 1
无穷 的 0 次方 等于 1 。
大家还可以 试试 ( 1 / x ² ) ^ x , x -> 0 等于什么 ， ( 1 / x ³ ) ^ x , x -> 0 呢 ？ ( 1 / x ⁴ ) ^ x , x -> 0 呢 ？
也可以这样看，
[ ( 1 / x ) ^ x ] ^ ( 1 / x ) , x -> 0
= ( 1 / x ) ^ ( x * 1 / x )
= ( 1 / x ) ^ 1
= 1 / x
当 u -> 无穷 时， u ² 、u ³ 、u ⁴ 都是 无穷， u ² 是 u 的 高阶无穷， u ² 比 u 高一阶， u 比 u ² 低一阶 。
u ³ 是 u 的 高阶无穷， u ³ 比 u 高二阶， u 比 u ³ 低二阶 。
当 u -> 0 时， u 是 无穷小， u ² 、u ³ 、u ⁴ 都是 无穷小， u ² 是 u 的 高阶无穷小， u ² 比 u 高一阶， u 比 u ² 低一阶 。
u ³ 是 u 的 高阶无穷小， u ³ 比 u 高二阶， u 比 u ³ 低二阶 。
可知 [ ( 1 / x ) ^ x ] ^ ( 1 / x ) 是 比 ( 1 / x ) ^ x 高了 1 / x - 1 阶 的 量 ，
当 x -> 0 时， 1 / x -> 无穷 ， 1 / x - 1 -> 无穷， [ ( 1 / x ) ^ x ] ^ ( 1 / x ) 比 ( 1 / x ) ^ x 高了 无穷 阶 。
又 因为 [ ( 1 / x ) ^ x ] ^ ( 1 / x ) = 1 / x ， 也就是 1 / x 比 ( 1 / x ) ^ x 高了 无穷 阶 。
即 1 / x 是 比 ( 1 / x ) ^ x 高了 无穷 阶 的 量， ( 1 / x ) ^ x 是 比 1 / x 低了 无穷阶 的 量 。
以 x 为 标准， x -> 0 时， x 是 一阶无穷小， 则 1 / x 是 一阶无穷，
以 ( 1 / x ) ^ x 为 标准， x -> 0 时， ( 1 / x ) ^ x 比 1 / x 低了 无穷阶 。
然后， 我也不知道 想说什么， 挺绕的 。 似乎想说， 对 这样 的 以 ( 1 / x ) ^ x 为 标准 的 低了 无穷阶 ， 能不能 从 直观 上 来 看， 来 理解， 从 直观 上 看出 结论 ？ 或 看出个 端倪 ？
当 x -> 0 时， 1 / x -> 无穷 ， 所以， ( 1 / x ) ^ x 是 比 一阶无穷 低了 无穷阶 的 量 ， 但 这个 低了 无穷 阶 的 阶 又 不是 一阶无穷 的 阶， 而是 以 ( 1 / x ) ^ x , x -> 0 为 标准 的 阶 。
比 一阶无穷 低了 以 ( 1 / x ) ^ x , x -> 0 为 标准 的 阶 的 无穷阶 的 量， 是 什么 ？ 是 无穷 ？ 或是 常数 ？ 或是 无穷小 ？
从 直观 上 看， 如何 ？ 从 数理 上 看， 如何 ？