今天（2021-11-01）晚上看到 数学吧 的 一题 《实在想不出来了》 https://tieba.baidu.com/p/7596415471
大概知道怎么做了， 但是 lim xn , n -> 无穷 的 地方 还要想一下， 题目 似乎 有点问题， 应该要求 f (x) 在 [ 0, 1 ] 上 要么 大于 1， 要么 小于 1 ， 如果 f (x) 在 [ 0, 1 ] 上 有 小于 1 也有 大于 1， 那 lim xn , n -> 无穷 似乎不存在，就是说 n -> 无穷 时， xn 并不收敛， 而是 受 无穷 支配 而 不能确定 值 。
@思维机器 可以看看
@已封12138
本文已发到了 反相吧 《数学吧 的 一题 《实在想不出来了》》 https://tieba.baidu.com/p/7597152622 。
2 楼
思维机器 ： 收到
3 楼
思维机器 ： 用中值定理证明
K歌之王: 我在 《实在想不出来了》 的 回复 里 看到 好几次 “积分中值定理”， 以前也看到过， 但 我 不知道 积分中值定理 是 什么 ， 我在下面 发 我的 做法 。
思维机器: 回复 K歌之王 :积分中值定理有个公式，大概意思就是函数区间的积分等于区间某点的函数值乘以区间长度，这很直观的。还有微分形式的，就是拉格朗日中值定理
K歌之王 :回复 散步的鱼 :这么一说 就 明白了， 这个 积分中值 类似 交流电 的 有效值，在 物理 里 应该会 经常 见到 等效均值点 的 场景 。 刚也看了一下 拉格朗日中值定理 。
散步的鱼: 回复 K歌之王 :最近忙啊，没精力深搞
4 楼
K歌之王 ：
因为 f ( x ) 在 [ 0, 1 ] 非负单增， 所以， [ f ( x ) ]^n 在 [ 0, 1 ] 上 的 定积分 就可以 妥妥的 表示 为 [ f ( x ) ]^n 和 x 轴 在 [ 0, 1 ] 上 围成的 曲边形面积 。
将 [ f ( x ) ]^n 在 [ 0, x ] 上 的 定积分 记为 F ( x )， 可知 F ( 0 ) = 0 ， 当 0 < x <= 1 时， F ( x ) > 0 ， F ( x ) 在 [ 0, 1 ] 上 也是 单增 的 。
要 证明 题目（存在 唯一 的 xn）， 只要 证明 [ f ( 0 ) ]^n <= F ( 1 ) <= [ f ( 1 ) ]^n ，
要 怎么 证明 [ f ( 0 ) ]^n <= F ( 1 ) <= [ f ( 1 ) ]^n ？
比如， 直线 y = [ f ( 1 ) ]^n ， 直线 x = 1 和 x 轴 y 轴 围成的 长方形面积 是 大于 F ( 1 ) 的 ， 然后 …… 嘿嘿
5 楼
K歌之王 ：
回复 3 楼 @思维机器 “最近忙啊，没精力深搞” ，
大家加油， 哈哈 。
微分形式 的 中值定理， 也就是 拉格朗日中值定理 和 泰勒级数 颇有渊源， 或者说，泰勒级数 受到 中值定理 的 影响 和 思想上 的 启发 。
把 f ( x ) 在 [ a,b ] 上 的 增量 等价 为 一条 斜率 为 k 的 直线 在 [ a, b ] 上 的 增量， 以此 列一个 方程， 用 微分方程 的 方法 来 解 这个 方程， 得到的就是 泰勒级数 。
这几天看知乎看到， 伽罗华 和 阿贝尔 解决 一元五次以上方程 没有 代数解 的 问题 前， 拉格朗日 （还是 拉普拉斯 ？ 分不清 这两位） 就 觉得 五次以上方程 的 根 可能 不能用 根式 表达 。
而 傅里叶级数 出现 前， 数学家们 （拉格朗日 ？ 拉普拉斯 ？） 也 隐约觉得 周期函数 可以 表示 为 正弦级数 。 而 傅里叶 凭 直觉 就 说 周期函数 可以 表示 为 正弦级数 。
看来 大师 们 的 杰作 也是 在 之前 的 大师 和 之前的之前的 大师的大师 那里 受到 启示 积累 一点一点 发展 来 的 。
6 楼
K歌之王 ：
5 楼 说到的 知乎 《能说说你们心目中的数学大咖(数学家or教授都行)，并且能介绍几个有关他(她)们与数学的故事吗？》 https://www.zhihu.com/question/372642069/answer/1022511118
一开始 想的 比较简单， f ( x ) 在 [ 0, 1 ] 上 非负连续严格增， 所以， [ f ( x ) ] ^ n 也是 非负连续严格增， 若 f ( x ) > 1， 当 n -> 无穷 时， [ f ( x ) ] ^ n 的 增幅猛烈， 直插云霄 。
但 当时 不知怎的， 考虑的 时候 一直 把 f ( 0 ) 认为 是 0， 即 f ( 0 ) = 0， 当然 题目条件 是 f ( x ) 在 [ 0, 1 ] 上 非负， 也就是 f ( 0 ) > 0 ， 但， 把 f ( 0 ) 认为 是 0 ， 即 f ( 0 ) = 0 可以 更加 发现 无穷 和 极限 的 有趣现象， 所以 我们 接下来 的 讨论 中 仍然认为 f ( 0 ) = 0 。
设 f ( x ) 和 n 无关， 也就是 f ( x ) 里 没有 n 。
若 x ∈ ( 0, 1 ] ， f ( x ) < 1 ， 当 n -> 无穷 时， [ f ( x ) ] ^ n -> 0 ， 那么 [ f ( x ) ] ^ n 在 [ 0, 1 ] 上的 定积分 ʃ [ f ( x ) ] ^ n dx , [ 0, 1 ] 也 趋于 0 ， 此时， ( 0, 1 ] 上 的 任意一个 x 都能满足 f ( x ) -> 0 ， 也就是 ( 0, 1 ] 上 的 任意一个 x 都可以作为 xn， 其实 x = 0 也可以， f ( 0 ) = 0 ， 和 f ( 0 ) -> 0 也差不多 吧 ？ 那 算上 x = 0， [ 0, 1 ] 上的 任意 一个 x 都 可以 作为 xn ， 但 这 好像 和 题意 “唯一的 xn” 不一致 了 ？
这些 是 刚开始 做 这题 时 的 想法， 后来没过几天， 在 做 《又 看到 数学吧 的 两题》 https://www.cnblogs.com/KSongKing/p/15522312.html 里 的 题 的 时候 发现， 一个 函数 f ( x ) ， 在 [ 0, 1 ) 上 处处 无穷小， 但是 它 在 [ 0, 1 ] 上 的 定积分 不一定 是 无穷小， 也可能是 常数 或 无穷， 这 和 f ( 1 ) 的 值 有关 。
当然， 我们 这里 的 f ( 0 ) = 0 ， 在 x ∈ ( 0, 1 ] ， f ( x ) < 1 ， 也就是 f ( 1 ) < 1， 当 n -> 无穷 时， [ f ( 1 ) ] ^ n -> 0 ， 所以 f ( x ) 在 [ 0, 1 ] 上 的 定积分 是 无穷小 还是 成立 的 。
若 x ∈ ( 0, 1 ] ， f ( x ) = 1 ， 当然， 这种情况 是 不存在的， 因为 f ( x ) 非负连续严格增 。
若 x ∈ ( 0, 1 ] ， f ( x ) > 1 ， 当 n -> 无穷 时， [ f ( x ) ] ^ n -> 无穷 ， 但 f ( 0 ) = 0 。
因为 [ 0, 1 ] 在 x 轴 上 的 长度 为 1， 所以， 要让 [ f ( xn ) ] ^ n = ʃ [ f ( x ) ] ^ n dx , [ 0, 1 ] ， 只要让 直线 y = f ( xn ) 在 [ 0, 1 ] 里 和 x 轴 围成 的 长方形面积 等于 [ f ( x ) ] ^ n 在 [ 0, 1 ] 里 和 x 轴 围成 的 曲边形面积 就行了 。
那么 这个 曲边形 的 面积 是 多大 ？ 首先看一下 这个 曲边形 的 形状 。
一开始 想的 比较简单， f ( x ) 在 [ 0, 1 ] 上 非负连续严格增， 所以， [ f ( x ) ] ^ n 也是 非负连续严格增， 若 f ( x ) > 1， 当 n -> 无穷 时， [ f ( x ) ] ^ n 的 增幅猛烈， 直插云霄 。
既然 除了 x = 0 外， 从 x > 0 开始， 每个 x 的 [ f ( x ) ] ^ n 都 无穷大， 直插云霄， 一个 比一个 飞的 更高， 高到看不见， 那 这些 一个比 一个高， 高 到 没影 的 [ f ( x ) ] ^ n 连起来 的 曲线 也是 一条 直插云霄 的 “冲天线” 吧 ？ 大概 这个样子 ：
[ f ( x ) ] ^ n 曲线 无限趋于 和 x 轴 垂直， 和 y 轴 平行， 无限趋于 直线， 所以， 它 和 x 轴 在 [ 0,1 ] 上 围成 曲边形 应该是 无限趋于 一个 向上 无限开口 的 长方形 吧 ？
这 和 直线 x = 1 （图中 虚线） 和 y 轴 、x 轴 在 x ∈ [ 0, 1 ] 上 围成 的 向上 无限开口 的 长方形 差不多 吧 ？
两个 长方形 无限趋于 重合， 当然 两者 的 面积 无限趋于 相同 。
两个 长方形 的 宽 都是 1，
直线 x = 1 的 高度 是 无穷， y = 无穷， 长方形 面积 = 无穷 * 1 = 无穷
所以， [ f ( x ) ] ^ n 曲线 和 x 轴 在 [ 0,1 ] 上 围成 曲边形 无限趋于 长方形， 长方形 的 高 应该是 最大 的 那个 [ f ( x ) ] ^ n， 即 [ f ( 1 ) ] ^ n ， 当然 [ f ( x ) ] ^ n 也是 无穷 ， 于是 ʃ [ f ( x ) ] ^ n dx , [ 0, 1 ] = [ f ( x ) ] ^ n 曲边形面积 = 长方形面积 = [ f ( 1 ) ] ^ n * 1 = [ f ( 1 ) ] ^ n ，
即 ʃ [ f ( x ) ] ^ n dx , [ 0, 1 ] = [ f ( 1 ) ] ^ n
我们 要找的 xn 要 满足 [ f ( xn ) ] ^ n = ʃ [ f ( x ) ] ^ n dx , [ 0, 1 ] ， 由 上式 ， 显然， xn = 1 ， 因为 曲边形 趋于 长方形 ， 所以也可以说 xn -> 1 。
因为 曲边形 无限趋于 长方形， 因此， f ( x ) 还可以 画成 这样子 ：
但 [ f ( x ) ] ^ n 曲线 不是 无限 趋于 竖直 的 直线 吗 ？ （竖直 指 垂直于 x 轴） 那 个 “横过来” 的“ 封顶” 是 怎么回事 ？ 好吧， 我们可以这样说服自己， [ f ( x ) ] ^ n 曲线 只有 上升 到 “最高” 的 时候 才 “甩过来” 封顶， 最高 是 多高 ？ 是 [ f ( 1 ) ] ^ n ？ 是 无穷 ？ 是 永远到达 不了 ？
这是 只看 f ( x ) 的 定义域 是 [ 0, 1 ] ，
如果 f ( x ) 的 定义域 是 x 轴 正半轴， 也是 非负连续严格增， 那 是 在 什么时候 “甩过来” ？ 是在 [ f ( 1 ) ] ^ n ？ [ f ( 2 ) ] ^ n ？ [ f ( 3 ) ] ^ n ？ [ f ( 无穷 ) ] ^ n ？
若 在 x ∈ ( 0. 1 ] 上， 有 f ( x ) < 1， 也有 f ( x ) > 1， 就有一些问题了 。 设 f ( 0.4 ) = 1， 因为 f ( x ) 连续严格增， 当然， 在 x ∈ ( 0. 0.4 ) ， f ( x ) < 1， 在 x ∈ ( 0.4. 1 ] ， f ( x ) > 1 。
