走台阶问题汇总(青蛙跳台阶，花式上台阶等……

相信很多人第一次接触到台阶问题都是青蛙跳台阶吧，如下：

>>>一只青蛙一次可以跳上1级台阶，也可以跳上2级。求该青蛙跳上一个n级的台阶总共有多少种跳法（先后次序不同算不同的结果）

可以推断出，

当台阶数是1时，只有一种跳法，当台阶数是2时，有两种跳法；

当台阶数是3时，第一次跳，要么是跳一级，要么是跳两级，这两种状态，产生两种完全不同的结果。

如果跳一级，那么剩下的就是n-1级台阶的跳法；

如果跳两级，那么剩下的就是n-2级台阶的跳法；

所以第一步怎么跳，决定了后续的跳法，所以总的跳法是f(n-1)+f(n-2)的跳法。

由此可以得出可以使用斐波那契数列求解：

//递归方法，数据较大时可能超时
int febonaci（int n）{ //n为台阶数
        if(n==1)
            return 1;
        if(n==2)
            return 2;
        else
            return jumpFloor(n-2)+jumpFloor(n-1);
}

//利用数组的循环方法
int febonaci(int n){
    vector<int> v;
    v.push_back(1);   //先将数列前两个值放入
    v.push_back(2);
    for(int i=2;i<n;i++){
    v.push_back(v[i-1]+v[i-2]);   //数组内存储斐波那契数列
}
    cout<<v[n-1]<<endl;
}

　　

然后可以了解扩展题型：

>>>楼梯有n(100 > n > 0)阶台阶,上楼时可以一步上1阶,也可以一步上2阶,也可以一步上3阶，编程计算共有多少种不同的走法

其实思想与前一题差不多，就当做熟悉题型了

第n阶=第n-1阶走一步总走法+第n-2阶走2步总走法+第n-3阶走3步总走法

int solve(int n){
	vector<int> v;
	v.push_back(1);
	v.push_back(2);
	v.push_back(4);
	for (int i = 3; i < n; i++){
		v.push_back(v[i - 3] + v[i - 2] + v[i - 1]);
	}
	cout << v[n - 1] << endl;
}
//当然，为了约束运行时间，也可在读入数据前就构造好足够大的数列，然后直接进行输出

//这里同样给出递归算法，res为最终结果
long res;
void solve(int n)
{
    if(n<0)
    {
        return;
    }
    if(n==0)
    {
        res++;
        return;
    }
    for (int i=1; i<=3; i++)
    {
        solve(n-i);
    }
}
int main（）{
……
cout<<solve(n)<<endl;
……
}

然后是台阶类问题的最终题型：

>>>有N级的台阶，你一开始在底部，每次可以向上迈最多K级台阶（最少1级），问到达第N级台阶有多少种不同方式，一个正整数，为不同方式数，由于答案可能很大，你需要输出 ans mod100003 （不通题目要求可能不同）后的结果

其实思想还是一样的，但是对于这种题目来说数据一般较大，不适用于递归写法，所以一般都是用数组解决

#include<iostream>
using namespace std;
int main()
{
    
    int n,k;
    vector<int> a(100003);
    int i,j;
    cin>>n>>k;//输入n、k
    a[0]=1;//初始条件
    for(i=1;i<=n;i++)//从头到尾进行递推
    {	
        for(j=1; j<=k && i-j>=0 ;j++)     //当前阶数最少1到最大k阶依次累加
            a[i]+=a[i-j];
        
        a[i]%=100003;    //按要求进行处理
    }	
    cout<<a[n]<<endl;
    return 0;
}

以上~