题意
给定一个长度为 (n) 的序列 (a) 和 (q) 次操作，每次操作形如以下三种：
-
I a b c，表示将 ([a,b]) 内的元素加 (c)。 -
R a b，表示将 ([a,b]) 内的元素变成相反数。 -
Q a b c，表示在 ([a,b]) 内所有选出 (c) 个元素的乘积之和。
对于每一个询问操作，输出答案对 (19940417) 取模的值。
( exttt{Data Range:}1leq nleq qleq 50000)
题解
好题啊。
看到这种题马上想到用线段树维护区间内 ((1+a_ix)) 的乘积，然后答案就是取一项。
考虑如何打懒标记。对于相反数的话，设 (F(x)=prodlimits_{i=1}^{n}(1+a_ix))，那么有
[prodlimits_{i=1}^{n}(1-a_ix)=sumlimits_{i=0}^{n}(-1)^i[x^i]F(x)
]
这个结论大概可以手玩一下，所以说打懒标记的时候只需要奇次项取相反数即可。
接下来是区间加这个大毒瘤，还是考虑懒标记的打法。
接下来为了方便我们用 (S_k) 表示 (a_1,a_2,cdots a_n) 中取 (k) 项的所有乘积之和，那么有
[[1+(a_1+c)x][1+(a_2+c)x][1+(a_3+c)x]=1+(S_1+3cx)+(S_2+2S_1c+3c^2)x^2+(S_3+S_2c+S_1c^2+c^3)x^3
]
注意到我们可以枚举一下多项式的 (i) 次项系数和这一项系数里面是取 (j) 项的所有方案数的乘积之和，那么我们得到当前枚举的 (i,j) 对应的 (S_j) 的系数为：
[frac{inom{n}{i}inom{i}{j}c^{i-j}}{inom{n}{j}}
]
这里有一个组合意义的解释：首先将 ((a_i+c)x) 看做整体，从 (n) 个中选出 (i) 个构成 ((a_1+c)(a_2+c)cdots(a_i+c)x^i) 这一项。接下来在求出这一项中对应的 (c^{i-j}) 的系数，也就是选了 (j) 个 (a) 和 (i-j) 个 (c)。最后，一共有 (inom{n}{j}) 种方式从这些 (a_i) 中出选 (j) 个，而每种方式被计算的次数都是相等的，于是得除掉，就得到这个东西被算了几次，也就是 (S_j) 的系数。
利用一些基本的恒等式我们有
[frac{inom{n}{i}inom{i}{j}c^{i-j}}{inom{n}{j}}=inom{n-j}{i-j}c^{i-j}
]
于是枚举一下这个东西就没了，时间复杂度 (O(c^2nlog n))。
代码
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef int ll;
typedef long long int li;
const ll MAXN=5e4+51,MOD=19940417;
struct SegmentTree{
ll l,r,tag,tag2;
ll f[21];
};
SegmentTree tree[MAXN<<2];
ll n,qcnt,l,r,u;
char op;
ll x[MAXN],pw[MAXN],binom[MAXN][21],g[21];
inline ll read()
{
register ll num=0,neg=1;
register char ch=getchar();
while(!isdigit(ch)&&ch!='-')
{
ch=getchar();
}
if(ch=='-')
{
neg=-1;
ch=getchar();
}
while(isdigit(ch))
{
num=(num<<3)+(num<<1)+(ch-'0');
ch=getchar();
}
return num*neg;
}
inline void conv(ll *f,ll *g,ll *res)
{
li cur;
for(register int i=0;i<=20;i++)
{
cur=0;
for(register int j=0;j<=i;j++)
{
cur+=(li)f[j]*g[i-j]%MOD;
}
res[i]=cur%MOD;
}
}
#define ls node<<1
#define rs (node<<1)|1
inline void update(ll node)
{
conv(tree[ls].f,tree[rs].f,tree[node].f);
}
inline void create(ll l,ll r,ll node)
{
tree[node]=(SegmentTree){l,r,0,1,{1}};
if(l==r)
{
return (void)(tree[node].f[1]=x[l]);
}
ll mid=(l+r)>>1;
create(l,mid,ls),create(mid+1,r,rs),update(node);
}
inline void spread(ll node)
{
if(tree[node].tag2!=1)
{
for(register int i=1;i<=20;i+=2)
{
tree[ls].f[i]=(MOD-tree[ls].f[i])%MOD;
tree[rs].f[i]=(MOD-tree[rs].f[i])%MOD;
}
tree[ls].tag2*=-1,tree[rs].tag2*=-1,tree[node].tag2=1;
tree[ls].tag=(MOD-tree[ls].tag)%MOD;
tree[rs].tag=(MOD-tree[rs].tag)%MOD;
}
if(tree[node].tag)
{
ll lenl=tree[ls].r-tree[ls].l+1,lenr=tree[rs].r-tree[rs].l+1;
li curl,curr;
for(register int i=1;i<=20;i++)
{
pw[i]=(li)pw[i-1]*tree[node].tag%MOD;
}
for(register int i=20;i;i--)
{
curl=curr=0;
for(register int j=0;j<i;j++)
{
curl+=(li)tree[ls].f[j]*pw[i-j]%MOD*binom[lenl-j][i-j]%MOD;
curr+=(li)tree[rs].f[j]*pw[i-j]%MOD*binom[lenr-j][i-j]%MOD;
}
tree[ls].f[i]=(tree[ls].f[i]+curl)%MOD;
tree[rs].f[i]=(tree[rs].f[i]+curr)%MOD;
}
tree[ls].tag+=tree[node].tag,tree[rs].tag+=tree[node].tag;
tree[ls].tag%=MOD,tree[rs].tag%=MOD,tree[node].tag=0;
}
}
inline void add(ll l,ll r,ll val,ll node)
{
if(l<=tree[node].l&&r>=tree[node].r)
{
ll len=tree[node].r-tree[node].l+1;
li cur=0;
for(register int i=1;i<=20;i++)
{
pw[i]=(li)pw[i-1]*val%MOD;
}
for(register int i=20;i;i--)
{
cur=0;
for(register int j=0;j<i;j++)
{
cur+=(li)tree[node].f[j]*pw[i-j]%MOD*binom[len-j][i-j]%MOD;
}
tree[node].f[i]=(tree[node].f[i]+cur)%MOD;
}
return (void)(tree[node].tag=(tree[node].tag+val)%MOD);
}
ll mid=(tree[node].l+tree[node].r)>>1;
spread(node);
l<=mid?add(l,r,val,ls):(void)1,r>mid?add(l,r,val,rs):(void)1;
update(node);
}
inline void mul(ll l,ll r,ll node)
{
if(l<=tree[node].l&&r>=tree[node].r)
{
for(register int i=1;i<=20;i+=2)
{
tree[node].f[i]=(MOD-tree[node].f[i])%MOD;
}
tree[node].tag=(MOD-tree[node].tag)%MOD;
return (void)(tree[node].tag2*=-1);
}
ll mid=(tree[node].l+tree[node].r)>>1;
spread(node);
l<=mid?mul(l,r,ls):(void)1,r>mid?mul(l,r,rs):(void)1,update(node);
}
inline SegmentTree query(ll l,ll r,ll node)
{
SegmentTree res;
if(l<=tree[node].l&&r>=tree[node].r)
{
return tree[node];
}
ll mid=(tree[node].l+tree[node].r)>>1;
spread(node),conv(l<=mid?query(l,r,ls).f:g,r>mid?query(l,r,rs).f:g,res.f);
return res;
}
int main()
{
n=read(),qcnt=read(),binom[0][0]=pw[0]=g[0]=1;
for(register int i=1;i<=n;i++)
{
x[i]=(read()%MOD+MOD)%MOD;
}
for(register int i=1;i<=n;i++)
{
binom[i][0]=1;
for(register int j=1;j<=20;j++)
{
binom[i][j]=(binom[i-1][j]+binom[i-1][j-1])%MOD;
}
}
create(1,n,1);
for(register int i=0;i<qcnt;i++)
{
cin>>op,l=read(),r=read();
if(op=='I')
{
u=(read()%MOD+MOD)%MOD,add(l,r,u,1);
}
if(op=='R')
{
mul(l,r,1);
}
if(op=='Q')
{
u=read();
printf("%d
",query(l,r,1).f[u]);
}
}
}