BZOJ2300[HAOI2011]防线修建——非旋转treap+凸包(平衡树动态维护凸包)

题目描述

近来A国和B国的矛盾激化，为了预防不测，A国准备修建一条长长的防线，当然修建防线的话，肯定要把需要保护的城市修在防线内部了。可是A国上层现在还犹豫不决，到底该把哪些城市作为保护对象呢？又由于A国的经费有限，所以希望你能帮忙完成如下的一个任务：

1.给出你所有的A国城市坐标

2.A国上层经过讨论，考虑到经济问题，决定取消对i城市的保护，也就是说i城市不需要在防线内了

3.A国上层询问对于剩下要保护的城市，修建防线的总经费最少是多少

你需要对每次询问作出回答。注意单位1长度的防线花费为1。

A国的地形是这样的，形如下图，x轴是一条河流，相当于一条天然防线，不需要你再修建

A国总是有两个城市在河边，一个点是(0,0)，一个点是(n,0)，其余所有点的横坐标均大于0小于n，纵坐标均大于0。A国有一个不在(0,0)和(n,0)的首都。(0,0),(n,0)和首都这三个城市是一定需要保护的。

上图中，A,B,C,D,E点为A国城市，且目前都要保护，那么修建的防线就会是A-B-C-D，花费也就是线段AB的长度+线段BC的长度+线段CD的长度,如果，这个时候撤销B点的保护，那么防线变成下图 

输入

第一行，三个整数n,x,y分别表示河边城市和首都是(0,0)，(n,0)，(x,y)。

第二行，一个整数m。

接下来m行，每行两个整数a,b表示A国的一个非首都非河边城市的坐标为(a,b)。

再接下来一个整数q，表示修改和询问总数。

接下来q行每行要么形如1 i，要么形如2，分别表示撤销第i个城市的保护和询问。

输出

对于每个询问输出1行，一个实数v，表示修建防线的花费，保留两位小数

样例输入

4 2 1
2
1 2
3 2
5
2
1 1
2
1 2
2

样例输出

6.47
5.84
4.47

提示

m<=100000,q<=200000,n>1

所有点的坐标范围均在10000以内, 数据保证没有重点

 

题目要求动态维护一个凸包，但观察到修改操作只有删点。

如果每次删除一个点的话，可能会有许多点重新变成凸包上的点，无法保证时间复杂度。

所以我们将询问离线，然后倒着做，将删点变成加点。

先对刚开始就有的所有点(即没被删除的所有点)维护一个凸包，然后对凸包上的点以横坐标为权值建立平衡树。

每次插入一个点时，在平衡树上二分找到该插入的位置，并判断这个点是否在凸包上方(如果在下方，那么这个点不会影响凸包)。

然后分别向左/右枚举凸包上的点，像刚开始求凸包时一样用叉积判断原凸包上的点是否在新插入点与之前点的下方，然后将这些点从凸包上删除即可。

因为每个点最多会被删除一次，所以时间复杂度为$O(mlog_{m}+q)$。

#include<set>
#include<map>
#include<queue>
#include<stack>
#include<cmath>
#include<cstdio>
#include<vector>
#include<bitset>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#define ll long long
using namespace std;
struct lty
{
	int x,y;
	lty(int X=0,int Y=0){x=X,y=Y;}
	bool operator <(const lty &a)const{return x==a.x?y<a.y:x<a.x;}
	lty operator -(const lty &a)const{return lty(x-a.x,y-a.y);}
}p[100010],s[100010],st[100010],tr[100010];
int cnt;
int top;
int tot;
int x,y;
int root;
int n,m,Q;
int ls[100010];
int rs[100010];
int r[100010];
int size[100010];
double ans;
int a,b,c,d;
int vis[100010];
struct yzl
{
	int opt,id;
	double res;
}q[200010];
ll cross(lty a,lty b)
{
	return 1ll*a.x*b.y-1ll*a.y*b.x;
}
int newnode(int x,int y)
{
	int rt=++cnt;
	tr[rt].x=x;
	tr[rt].y=y;
	r[rt]=rand();
	size[rt]=1;
	return rt;
}
void pushup(int rt)
{
	size[rt]=size[ls[rt]]+size[rs[rt]]+1;
}
double dis(lty a,lty b)
{
	lty c=a-b;
	return sqrt(1ll*c.x*c.x+1ll*c.y*c.y);
}
int merge(int x,int y)
{
	if(!x||!y)
	{
		return x+y;
	}
	if(r[x]<r[y])
	{
		rs[x]=merge(rs[x],y);
		pushup(x);
		return x;
	}
	else
	{
		ls[y]=merge(x,ls[y]);
		pushup(y);
		return y;
	}
}
void split_value(int rt,int &x,int &y,int k,int z)
{
	if(!rt)
	{
		x=y=0;
		return ;
	}
	if(tr[rt].x>k||(tr[rt].x==k&&tr[rt].y>z))
	{
		y=rt;
		split_value(ls[rt],x,ls[y],k,z);
	}
	else
	{
		x=rt;
		split_value(rs[rt],rs[x],y,k,z);
	}
	pushup(rt);
}
void split_left(int rt,int &x,int &y,int k)
{
	if(!rt)
	{
		x=y=0;
		return ;
	}
	if(size[ls[rt]]>=k)
	{
		y=rt;
		split_left(ls[rt],x,ls[y],k);
	}
	else
	{
		x=rt;
		split_left(rs[rt],rs[x],y,k-size[ls[rt]]-1);
	}
	pushup(rt);
}
void split_right(int rt,int &x,int &y,int k)
{
	if(!rt)
	{
		x=y=0;
		return ;
	}
	if(size[rs[rt]]>=k)
	{
		x=rt;
		split_right(rs[rt],rs[x],y,k);
	}
	else
	{
		y=rt;
		split_right(ls[rt],x,ls[y],k-size[rs[rt]]-1);
	}
	pushup(rt);
}
int build(int l,int r)
{
	if(l==r)
	{
		return newnode(st[l].x,st[l].y);
	}
	int mid=(l+r)>>1;
	return merge(build(l,mid),build(mid+1,r));
}
int main()
{
	srand(12378);
	scanf("%d%d%d",&n,&x,&y);
	scanf("%d",&m);
	for(int i=1;i<=m;i++)
	{
		scanf("%d%d",&p[i].x,&p[i].y);
	}
	p[m+1].x=x,p[m+1].y=y;
	p[m+2].x=0,p[m+2].y=0;
	p[m+3].x=n,p[m+3].y=0;
	m+=3;
	scanf("%d",&Q);
	for(int i=1;i<=Q;i++)
	{
		scanf("%d",&q[i].opt);
		if(q[i].opt==1)
		{
			scanf("%d",&q[i].id);
			vis[q[i].id]=1;
		}
	}
	for(int i=1;i<=m;i++)
	{
		if(!vis[i])
		{
			s[++tot]=p[i];
		}
	}
	sort(s+1,s+1+tot);
	for(int i=1;i<=tot;i++)
	{
		while(top>1&&cross(st[top-1]-st[top],s[i]-st[top])<=0)
		{
			top--;
		}
		st[++top]=s[i];
	}
	root=build(1,top);
	for(int i=2;i<=top;i++)
	{
		ans+=dis(st[i-1],st[i]);
	}
	for(int i=Q;i>=1;i--)
	{
		if(q[i].opt==2)
		{
			q[i].res=ans;
		}
		else
		{
			int now=q[i].id;
			split_value(root,a,d,p[now].x,p[now].y);
			split_right(a,a,b,1);
			split_left(d,c,d,1);
			if(cross(tr[b]-p[now],tr[c]-p[now])<=0)
			{
				a=merge(a,b);
				d=merge(c,d);
				root=merge(a,d);
				continue;
			}
			ans-=dis(tr[b],tr[c]);
			a=merge(a,b);
			d=merge(c,d);
			split_right(a,a,c,1);
			split_right(a,a,b,1);
			while(b&&c&&cross(tr[b]-tr[c],p[now]-tr[c])<=0)
			{
				ans-=dis(tr[b],tr[c]);
				c=b;
				split_right(a,a,b,1);
			}
			ans+=dis(p[now],tr[c]);
			a=merge(a,b);
			a=merge(a,c);
			split_left(d,b,d,1);
			split_left(d,c,d,1);
			while(b&&c&&cross(p[now]-tr[b],tr[c]-tr[b])<=0)
			{
				ans-=dis(tr[b],tr[c]);
				b=c;
				split_left(d,c,d,1);
			}
			ans+=dis(p[now],tr[b]);
			d=merge(c,d);
			d=merge(b,d);
			root=merge(merge(a,newnode(p[now].x,p[now].y)),d);
		}
	}
	for(int i=1;i<=Q;i++)
	{
		if(q[i].opt==2)
		{
			printf("%.2f
",q[i].res);
		}
	}
}