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  • 圆周率π的定义与求值

    从小学或是初中就接触到π,却一直不知道它的定义和求值方法,在这里明确一下。

    一.圆周率的定义

      圆周率  = 周长 / 直径

        π = C / d

    二.弧度制的定义

      弧度 = 弧长 / 半径

        α = l / r

      下面来推导角度制与弧度制的关系:

        我们定义圆周角为360°

        当我们取圆心角等于360°时,弧长等于周长,有:

          α = C / r = πd / r = 2π

        由此得出,角度制的360度对应弧度制的2π (rad)

    三.莱布尼茨级数

      π/4 = 1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + 1/9-…… 

      随着等式右侧项数的增加,结果不断趋近于π/4,证明如下:

        考虑级数

          1 - x+ x- x+ x-…… = 1 / (1+x2)

        等式两边同时积分,得

          x - x3/3 + x5/5 -x7/7 + x9/9 +…… = tan-1 x

        取x等于1,有tan-1 1等于π/4,故有

          1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + 1/9-…… = π/4

        原式得证。

    附:对于圆周率的证明,还有很多方法,比如wallis乘积法等,此处只列举一个我觉得最简单的证明方法。

    (最后说一句:我的数学水平实在是差,很多定理都是硬背下来的,怪不得很多东西无法深入理解,一旦深入思考就发现自己思维非常混乱,以后推导显而易见的结论是免不了啦……)

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  • 原文地址:https://www.cnblogs.com/KoalaDream/p/4875966.html
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