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  • bzoj 3456 城市规划

    求 n 个点简单无向连通图个数,膜 $1004535809$ (是一个质数,原根是 $3$)

    $n leq 130000$

    sol:

    推式子的方法...应该到处都有

    记录一下指数生成函数 (EGF) 的做法

    先设 $g(x)$ 为 n 个点简单无向图的 EGF ,可以知道 $g(x)=sumlimits_{i=0}^{infty} 2^{inom{i}{2}} imes frac{x^i}{i!}$

    然后考虑求 n 个点简单无向连通图的 EGF ,记为 $f(x)$

    一个不一定连通的图由若干个连通块组成,枚举一下连通块的大小得到 $g(x)=sumlimits_{i=0}^{infty} frac{(f(x))^i}{i!}$

    可以理解成,包含 1 个连通块的是 $f(x)$ ,两个连通块的是 $frac{1}{2} imes (f(x))^2$ ,三个连通块的是 $frac{1}{6} imes (f(x))^3$ ...

    然后考虑 $e^x$ 的泰勒展开,$e^x = sumlimits_{i=0}^{infty} frac{x^i}{i!}$ ,可以知道 $g(x) = exp(f(x))$ ,则 $f(x) = ln(g(x))$ 

    多项式求 ln 即可,答案就是 $[x^n]f(x) imes n!$

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