bzoj3462DZY Loves Math II

数据范围：$$2 leq S leq 2 * 10^6$$

$$1 leq n leq 10^{18}$$

$$ 1 leq q leq 10^5$$

数学+dp

题解写一年系列...

观察一下原题，

（1）因为每个$p_i$必须出现，所以我们可以把$n$减去$sum p_i$来转化为每个$p_i$可以不出现

（2）根据$S$的范围，我们发现$k$不超过$20$(实际上不会超过$7$)

（3）$S$中不会含有完全平方因子

（4）事实上，我们拆出来的式子一定是形如$$sum p_i * c_i=n$$

每个$p_i$都是$S$的因数 所以$p_i * c_i$得到的结果一定是$X cdot S + Y cdot c_i$

把$c_i$分成$a_i=c_i/(S/p_i),b_i=c_i mod (S/p_i)$

枚举$m$，$p_1*b_1+p_2*b_2+...+p_k*b_k=n-m*S$

这个可以用背包的方式预处理，剩下的可用插板法得到

#include<bits/stdc++.h>
#define LL long long
using namespace std;
const LL yyc = 1e9+7;
const LL maxn = 2e6+10;
LL dp[2][maxn << 3];
LL orz[20],cnt;
LL s,n,q;
inline LL ksm(LL a,LL b)
{
    LL res=1;
    while(b)
    {
        if(b&1)(res*=a)%=yyc;
        (a*=a)%=yyc;
        b>>=1;
    }
    return res;
}
inline LL C(LL n,LL m)
{
    n++,m--;n=n+m-1;
    LL res=1;
    for(LL i=n;i>=n-m+1;i--)
        res=(res*(i%yyc))%yyc;
    for(LL i=1;i<=m;i++)
        res=res*ksm(i,yyc-2)%yyc;
    return res;
}
LL solve()
{
    LL now=0,pre=1;
    memset(dp[now],0,sizeof(dp[now]));
    dp[now][0]=1;
    for(LL i=1;i<=cnt;i++)
    {
        now^=1,pre^=1;memset(dp[now],0,sizeof(dp[now]));
        LL bou=s/orz[i]-1;
        for(LL j=0;j<orz[i];j++)
        {
            LL sum=0;
            for(LL k=0;k <= (s*cnt-j)/orz[i];k++)
            {
                sum+=dp[pre][k*orz[i]+j];sum=sum%yyc;
                if(k >= bou+1)sum-=dp[pre][(k-bou-1)*orz[i]+j];
                dp[now][k*orz[i]+j]=sum;
            }
        }
    }
    return now;
}
int main()
{
    scanf("%lld%lld",&s,&q);LL x=s;
    LL len=sqrt(s);
    for(LL i=2; i<=len;i++)
    {
        if(s%i == 0) s/=i,orz[++cnt]=i;
        if(s%i == 0)
        {
            while(q--)puts("0");
            return 0;
            //huaji
        }
    }
    if(s>1)orz[++cnt]=s;s=x;
    LL now=solve();
    while(q--)
    {
        LL res=0;
        scanf("%lld",&n);
        for(LL i=1;i<=cnt;i++)n-=orz[i];
        if(n < 0)
        {
            puts("0");
            continue;
        }
        LL m=n/s,k=n-m*s;
        for(LL i=0;i<=min(m,cnt);i++)
            res=(res+dp[now][i*s+k]*C(cnt+m-i-cnt,cnt%yyc)%yyc)%yyc;
        printf("%lld
",(res+yyc)%yyc);
    }
}