95题--不同的二叉搜索树II（java、中等难度）

题目描述：给定一个整数 n，生成所有由 1 ... n 为节点所组成的 二叉搜索树 。

示例如下：

　　

　　分析：这一题需要对比LeetCode96题来分析：https://www.cnblogs.com/KongJetLin/p/13054624.html

　　第96题也是求所有由 1 ... n 为节点所组成的 二叉搜索树，但是96题返回的是所有二叉搜索树的数量，因此对于96题，我们只需要使用动态规划的方法，从n=2开始，根据：dp[n] = dp[0] * dp[n-1] + dp[1] * dp[n-2] + ...... + dp[i-1]*dp[n-i] + ...... + dp[n-2] * dp[1] + dp[n-1] * dp[0] 公式，逐个求dp[i] (i = 0,1,...,n)，直到找到 dp[n] ，就是所有可能结构的二叉搜索树的数量。

　　但是这一题95题，返回的是所有可能的二叉搜索树的根结点的集合 List<TreeNode>，我们可以使用递归的思想进行求解。

　　求 1...n 的所有可能的二叉搜索树，可以分解为：

1）把 1 作为根节点，[ ] 空作为左子树，[ 2 ... n ] 的所有可能结构作为右子树；

2）2 作为根节点，[ 1 ] 作为左子树，[ 3...n ] 的所有可能结构作为右子树；

3）3 作为根节点，[ 1 2 ] 的所有可能作为左子树，[ 4 ... n ] 的所有可能作为右子树，然后左子树和右子树以3作为根结点进行两两组合。

...

3）n 作为根节点，[ 1... n ] 的所有可能作为左子树，[ ] 作为右子树。　

　　对于求 [ 2 ... n ] 、 [ 3 ... n ] 、[ 1 2 ]等情况的所有可能，也可以利用上边的方法，把每个数字作为根节点，然后把所有可能的左子树和右子树组合起来即可。

　　特殊情况，遇到 [ ] ，说明当前结点为null，以当前结点为根的所有可能子树只有一个，那就是 null，直接返回null；遇到 [ 1 ] 等只有一个数字的情况，当前结点为该数字，且当前结点的左右子树都没有结点（为null），那么以当前结点为根的所有可能子树只有一个，那就是当前数字，把该数字作为一棵树返回。

　　详细的过程见下面代码分析：

public ArrayList<TreeNode> generateTrees (int n)
    {
        ArrayList<TreeNode> res = new ArrayList<>();

        /*
        当 n=0 的时候，不返回null，而是直接返回空的ArrayList<TreeNode>。
        因为题目要求返回类型是ArrayList<TreeNode>，返回null会出错
         */
        if(n == 0)
            return res;
        //查找 1 - n的数字所组成的所有可能结构的二叉树
        return generateTrees(1, n);
    }

    //查找 start到end 数字所组成的所有可能结构的二叉树，并将这些二叉树的根放入ArrayList<TreeNode>
    private ArrayList<TreeNode> generateTrees(int start , int end)
    {
        //这个集合用于存储所有可能结构的二叉树的根（因为可能的二叉树结构有多个，因此要用ArrayList保存这些二叉树的根结点）
        ArrayList<TreeNode> res = new ArrayList<>();

        /*
        可能遇到 start>end 的情况，如上一层递归以start为根，其左子树为generateTrees(start, start - 1)，
        即左子树没有结点，为null，那么所有可能的二叉树只有一个：null；
        可能遇到 start=end 的情况，即已经找到最大树的叶子结点，叶子结点没有左右子树，
        那么所有可能的二叉树只有一个：start/end 为根。

        上述情况分别对应1结点的左子树（null）以及右子树（2）的情况。
                    1
                  /  
               null   2
         */
        if(start > end)
        {
            res.add(null);
            return res;//注意返回集合，因为上一层的递归遍历的是所有可能的二叉子树的根结点的集合
        }
        if(start == end)
        {
            res.add(new TreeNode(start));
            return res;
        }


        //第一个for循环用于遍历 start到end 之间所有的数字，求以这些数字为根的二叉树
        for (int i = start; i <= end ; i++)
        {
            //求 start到i-1 数字组成的所有可能的二叉树，将这些二叉树根的集合返回，这些二叉树是以i为根的树的左子树
            ArrayList<TreeNode> leftTrees = generateTrees(start, i - 1);
            ArrayList<TreeNode> rightTrees = generateTrees(i + 1, end);//类似于求左子树的操作

            /**
            leftTrees 与 rightTrees分别存储所有可能的左子树与右子树的根结点。
             我们需要将这些左子树与右子树两两组合，并将i作为当前树的根，连接这些左右子树，最后将这个根i添加到 res。

             以i为根的树可能有多种结构，而我们通过最外层的循环，找到以 i=start-end 为根的所有可能树的结构，
             将这些结构的根添加到 res 集合中，返回给上一层的递归即可。
             */
            for (TreeNode leftTree : leftTrees)
            {
                for (TreeNode rightTree : rightTrees)
                {
                    TreeNode root = new TreeNode(i);//以i作为根结点
                    //根结点连接所有可能的左右子树，i根结点若连接不同的左右子树，最后测试的时候代表其是不同的二叉树
                    root.left = leftTree;
                    root.right = rightTree;
                    //将这个结构的二叉搜索树的根添加到 res
                    res.add(root);
                }
            }
        }
        //出循环的时候，将以 i=start-end 为根的所有可能树的结构的根结点添加到 res，将res集合返回给上一层递归
        return res;

        /**
        注意，这里的返回值是ArrayList<TreeNode>，而不是 ArrayList<ArrayList<TreeNode>>，
         因此我们需要查找每一个i(i=1,2,...,n)为根的所有可能的二叉树结构，并将这些根（i）结点添加到ArrayList<TreeNode>。

         如果返回 ArrayList<ArrayList<TreeNode>>，就要找到所有可能的二叉树的所有结点的集合，将这些ArrayList<TreeNode>
         再次封装到 ArrayList 中。
         */
    }