遍历二叉树
遍历二叉树就是按某种规则，对二叉树的每个结点均访问一次，而且仅访问一次。这
实际上就是将非线性的二叉树结构线性化。遍历二叉树的方法有先序、中序、后序和层序4 种，访问的顺序各不相同。以图61(a)所示二叉树为例，先序遍历的顺序为1 2 3 4；
中序遍历的顺序为3 2 4 1；后序遍历的顺序为3 4 2 1；层序遍历的顺序为1 2 3 4。对于这
棵二叉树，层序遍历和先序遍历的顺序碰巧一致。有关二叉链表存储结构生成二叉树和遍
历二叉树的算法6.1～6.4 在bo6-2.cpp 中。
线索二叉树
为了更方便、快捷地遍历二叉树，最好在二叉树的结点上增加2 个指针，它们分别指
向遍历二叉树时该结点的前驱和后继结点。这样，从二叉树的任一结点都可以方便地找到
其它结点。但这样做大大降低了结构的存储密度。另外，根据二叉树的性质3(教科书124
页)，有：n0=n2+1。空链域=2n0+n1(叶子结点有2 个空链域，度为1 的结点有1 个空链
域)=n0+n1+n2+1=n+1。也就是说，在由n 个结点组成的二叉树中，有n+1 个指针是空指
针。如果能利用这n+1 个空指针，使它们指向结点的前驱(当左孩子指针空)或后继(当右
孩子指针空)，则既可不降低结构的存储密度，又可更方便、快捷地遍历二叉树。不过，
这样就无法区别左右孩子指针所指的到底是结点的左右孩子，还是结点的前驱后继了。为
了有所区别，另增加2 个域LTag 和RTag。当所指的是孩子，其值为0(Link)；当所指的
是前驱后继，其值为1(Thread)。这样做，结构的存储密度也有所降低，但不大。因为
LTag 和RTag 分别只需要1 个比特(二进制位)即可。c6-3.h 是二叉树的二叉线索存储结
构。它只是比二叉链表存储结构(在c6-2.h 中)多了LTag 和RTag 个域。
// c6-3.h 二叉树的二叉线索存储结构(见图6.17)
enum PointerTag // 枚举
{Link,Thread}; // Link(0)：指针，Thread(1)：线索
struct BiThrNode
{
TElemType data;
BiThrNode *lchild,*rchild; // 左右孩子指针
PointerTag LTag,RTag; // 左右标志
};
typedef BiThrNode *BiThrTree;
构造线索二叉树的方法和构造以二叉链表存储的二叉树方法相似，都是按先序输入结
点的值来构造二叉树的。对比bo6-2.cpp 中的CreateBiTree()函数和bo6-3.cpp 中的
CreateBiThrTree()函数可见，它们的区别有两点：
(1) 二叉树结点的结构不同；
(2) 构造线索二叉树时，若有左右孩子结点，还要给左右标志赋值0(Link)。
图61(a)所示二叉树调用CreateBiThrTree()函数产生的二叉树结构如图618 所
示。和调用CreateBiTree()函数产生的二叉树结构(见图68)相比，前者只是多了LTag 和
RTag 两个域。并且当其相应孩子指针不空时，赋值0。
调用CreateBiThrTree()函数，只是构造了一棵可以线索化的二叉树，还没有完成线
索化。
因为对于一棵给定的二叉树，其先序、中序、后序和层序遍历的顺序是不同的。显
然，其线索化的操作和遍历的操作也是不同的。
图619 是图61(a)所示二叉树的中序线索二叉树存储结构示例。和二叉链表(见图
68)存储结构相比，第一，它多了一个头结点。其左孩子指针指向根结点，右孩子指针
(线索)指向中序遍历所访问的最后一个结点。第二，它每个结点的左右孩子指针都不是空
指针。在没有孩子的情况下，分别指向该结点中序遍历的前驱或后继。第三，中序遍历的
第1 个结点(最左边的结点，它没有左孩子，本例是结点3)的左孩子指针(线索)和最后1
个结点(最右边的结点，它没有右孩子，本例是结点1)的右孩子指针(线索)都指向头结
点。其目的是标志遍历的起点和终点。
图620 是空线索二叉树。
bo6-3.cpp 中的InThreading()函数和InOrderThreading()函数
共同完成了对二叉树的中序遍历线索化。其算法是：设置全局指
针变量pre( 之所以设为全局变量， 是因为在递归函数
InThreading()和InOrderThreading()中都要用到，设为全局变量就
不必频繁传递变量的值)，令pre 总是指向遍历的前驱结点，p 指
向当前结点；在中序遍历过程中，如果p 所指结点没有左孩子，则结点的左孩子指针指向
pre 所指结点，结点的LTag 域的值为1(Thread)；如果pre 所指结点没有右孩子，则结点的
右孩子指针指向p，结点的RTag 域的值为1(Thread)。
对于图619 所示的中序线索二叉树，我们能不能在找到遍历的第1 个结点后，顺着
右孩子指针一直找到遍历的最后1 个结点呢？这是不一定的。因为结点的右孩子指针并不
一定指向后继结点，它可能指向右孩子，而右孩子并不一定恰好是后继结点。
bo6-3.cpp 中的InOrderTraverse_Thr()函数完成了对中序线索二叉树的中序遍历操
作。其算法是：当树不空时，由树根向左找，一直找到没有左孩子的结点(最左结点)。这
就是中序遍历的第1 个结点。若该结点没有右孩子，则右孩子指针指向其后继结点；否
则，以其右孩子为子树的根，向左找，一直找到没有左孩子的结点。这就是后继结点。当
结点的右孩子指针指向头结点，遍历结束。
图621 是图61(a)所示二叉树的先序线索二叉树存储结构示例。bo6-3.cpp 中的先
序线索化的递归函数PreThreading()与中序线索化的递归函数InThreading()很相像，都是
利用递归进行线索化，只不过顺序不同。但由于PreThreading()是先序线索化，所以判断
结点是否有左右孩子就不能由其左右孩子指针是否为空决定，而要由结点的LTag 和RTag
域是否为0(Link)来决定。
对于先序线索化二叉树的先序遍历算法是这样的：根结点是遍历的第1 个结点；如果
结点有左孩子，则左孩子是其后继；若结点没有左孩子，则右孩子指针所指的结点是其后
继(无论该结点有没有右孩子)。相关程序见bo6-3.cpp 中的PreOrderTraverse_Thr()函数。
bo6-3.cpp 中的后序线索化的递归函数PostThreading()与中序线索化的递归函数
InThreading()也很相像，也是利用递归进行线索化，也只是顺序不同。图622 是图
61(a)所示二叉树的后序线索二叉树存储结构示例。对于后序线索化二叉树的后序遍历
算法较复杂。因为根结点是在最后遍历，所以要采用带有双亲指针的三叉链表结构才行。
本书没有给出它的算法。
// bo6-3.cpp 二叉树的二叉线索存储(存储结构由c6-3.h定义)的基本操作，包括算法6.5～6.7
void CreateBiThrTree(BiThrTree &T) // (见图6.18)
{ // 按先序输入线索二叉树中结点的值，构造线索二叉树T。0(整型)/空格(字符型)表示空结点
TElemType ch;
scanf(form,&ch);
if(ch==Nil)
T=NULL;
else
{
T=(BiThrTree)malloc(sizeof(BiThrNode)); // 生成根结点(先序)
if(!T)
exit(OVERFLOW);
T->data=ch; // 给根结点赋植
CreateBiThrTree(T->lchild); // 递归构造左子树
if(T->lchild) // 有左孩子
T->LTag=Link; // 给左标志赋值(指针)
CreateBiThrTree(T->rchild); // 递归构造右子树
if(T->rchild) // 有右孩子
T->RTag=Link; // 给右标志赋值(指针)
}
}
BiThrTree pre; // 全局变量，始终指向刚刚访问过的结点
void InThreading(BiThrTree p)
{ // 通过中序遍历进行中序线索化，线索化之后pre指向最后一个结点。算法6.7
if(p) // 线索二叉树不空
{
InThreading(p->lchild); // 递归左子树线索化
if(!p->lchild) // 没有左孩子
{
p->LTag=Thread; // 左标志为线索(前驱)
p->lchild=pre; // 左孩子指针指向前驱
}
if(!pre->rchild) // 前驱没有右孩子
{
pre->RTag=Thread; // 前驱的右标志为线索(后继)
pre->rchild=p; // 前驱右孩子指针指向其后继(当前结点p)
}
pre=p; // 保持pre指向p的前驱
InThreading(p->rchild); // 递归右子树线索化
}
}
void InOrderThreading(BiThrTree &Thrt,BiThrTree T)
{ // 中序遍历二叉树T，并将其中序线索化，Thrt指向头结点。算法6.6
if(!(Thrt=(BiThrTree)malloc(sizeof(BiThrNode)))) // 生成头结点不成功
exit(OVERFLOW);
Thrt->LTag=Link; // 建头结点，左标志为指针
Thrt->RTag=Thread; // 右标志为线索
Thrt->rchild=Thrt; // 右指针回指
if(!T) // 若二叉树空，则左指针回指(见图6.20)
Thrt->lchild=Thrt;
else // (见图6.19)
{
Thrt->lchild=T; // 头结点的左指针指向根结点
pre=Thrt; // pre(前驱)的初值指向头结点
InThreading(T); // 中序遍历进行中序线索化，pre指向中序遍历的最后一个结点
pre->rchild=Thrt; // 最后一个结点的右指针指向头结点
pre->RTag=Thread; // 最后一个结点的右标志为线索
Thrt->rchild=pre; // 头结点的右指针指向中序遍历的最后一个结点
}
}
void InOrderTraverse_Thr(BiThrTree T,void(*Visit)(TElemType))
{ // 中序遍历线索二叉树T(头结点)的非递归算法。算法6.5
BiThrTree p;
p=T->lchild; // p指向根结点
while(p!=T)
{ // 空树或遍历结束时，p==T
while(p->LTag==Link) // 由根结点一直找到二叉树的最左结点
p=p->lchild;
Visit(p->data); // 访问此结点
while(p->RTag==Thread&&p->rchild!=T) // p->rchild是线索(后继)，且不是遍历的最后一个结点
{
p=p->rchild;
Visit(p->data); // 访问后继结点
}
p=p->rchild; // 若p->rchild不是线索(是右孩子)，p指向右孩子，返回循环，
} // 找这棵子树中序遍历的第1个结点
}
void PreThreading(BiThrTree p)
{ // PreOrderThreading()调用的递归函数
if(!pre->rchild) // p的前驱没有右孩子
{
pre->rchild=p; // p前驱的后继指向p
pre->RTag=Thread; // pre的右孩子为线索
}
if(!p->lchild) // p没有左孩子
{
p->LTag=Thread; // p的左孩子为线索
p->lchild=pre; // p的左孩子指向前驱
}
pre=p; // 移动前驱
if(p->LTag==Link) // p有左孩子
PreThreading(p->lchild); // 对p的左孩子递归调用preThreading()
if(p->RTag==Link) // p有右孩子
PreThreading(p->rchild); // 对p的右孩子递归调用preThreading()
}
void PreOrderThreading(BiThrTree &Thrt,BiThrTree T)
{ // 先序线索化二叉树T，头结点的右指针指向先序遍历的最后1个结点
if(!(Thrt=(BiThrTree)malloc(sizeof(BiThrNode)))) // 生成头结点
exit(OVERFLOW);
Thrt->LTag=Link; // 头结点的左指针为孩子
Thrt->RTag=Thread; // 头结点的右指针为线索
Thrt->rchild=Thrt; // 头结点的右指针指向自身
if(!T) // 空树(见图6.20)
Thrt->lchild=Thrt; // 头结点的左指针也指向自身
else
{ // 非空树(见图6.21)
Thrt->lchild=T; // 头结点的左指针指向根结点
pre=Thrt; // 前驱为头结点
PreThreading(T); // 从头结点开始先序递归线索化
pre->rchild=Thrt; // 最后一个结点的后继指向头结点
pre->RTag=Thread;
Thrt->rchild=pre; // 头结点的后继指向最后一个结点
}
}
void PreOrderTraverse_Thr(BiThrTree T,void(*Visit)(TElemType))
{ // 先序遍历线索二叉树T(头结点)的非递归算法
BiThrTree p=T->lchild; // p指向根结点
while(p!=T) // p没指向头结点(遍历的最后1个结点的后继指向头结点)
{
Visit(p->data); // 访问根结点
if(p->LTag==Link) // p有左孩子
p=p->lchild; // p指向左孩子(后继)
else // p无左孩子
p=p->rchild; // p指向右孩子或后继
}
}
void PostThreading(BiThrTree p)
{ // PostOrderThreading()调用的递归函数
if(p) // p不空
{
PostThreading(p->lchild); // 对p的左孩子递归调用PostThreading()
PostThreading(p->rchild); // 对p的右孩子递归调用PostThreading()
if(!p->lchild) // p没有左孩子
{
p->LTag=Thread; // p的左孩子为线索
p->lchild=pre; // p的左孩子指向前驱
}
if(!pre->rchild) // p的前驱没有右孩子
{
pre->RTag=Thread; // p前驱的右孩子为线索
pre->rchild=p; // p前驱的后继指向p
}
pre=p; // 移动前驱
}
}
void PostOrderThreading(BiThrTree &Thrt,BiThrTree T)
{ // 后序递归线索化二叉树
if(!(Thrt=(BiThrTree)malloc(sizeof(BiThrNode)))) // 生成头结点
exit(OVERFLOW);
Thrt->LTag=Link; // 头结点的左指针为孩子
Thrt->RTag=Thread; // 头结点的右指针为线索
if(!T) // 空树(见图6.20)
Thrt->lchild=Thrt->rchild=Thrt; // 头结点的左右指针指向自身
else
{ // 非空树(见图6.22)
Thrt->lchild=Thrt->rchild=T; // 头结点的左右指针指向根结点(最后一个结点)
pre=Thrt; // 前驱为头结点
PostThreading(T); // 从头结点开始后序递归线索化
if(pre->RTag!=Link) // 最后一个结点没有右孩子
{
pre->rchild=Thrt; // 最后一个结点的后继指向头结点
pre->RTag=Thread;
}
}
}
void DestroyBiTree(BiThrTree &T)
{ // DestroyBiThrTree调用的递归函数，T指向根结点
if(T) // 非空树
{
if(T->LTag==0) // 有左孩子
DestroyBiTree(T->lchild); // 销毁左孩子子树
if(T->RTag==0) // 有右孩子
DestroyBiTree(T->rchild); // 销毁右孩子子树
free(T); // 释放根结点
T=NULL; // 空指针赋0
}
}
void DestroyBiThrTree(BiThrTree &Thrt)
{ // 初始条件：线索二叉树Thrt存在。操作结果：销毁线索二叉树Thrt
if(Thrt) // 头结点存在
{
if(Thrt->lchild) // 根结点存在
DestroyBiTree(Thrt->lchild); // 递归销毁头结点lchild所指二叉树
free(Thrt); // 释放头结点
Thrt=NULL; // 线索二叉树Thrt指针赋0
}
}
// main6-3.cpp 检验bo6-3.cpp的主程序
#define CHAR 1 // 字符型
// #define CHAR 0 // 整型(二者选一)
#if CHAR
typedef char TElemType;
TElemType Nil=' '; // 字符型以空格符为空
#define form "%c" // 输入输出的格式为%c
#else
typedef int TElemType;
TElemType Nil=0; // 整型以0为空
#define form "%d" // 输入输出的格式为%d
#endif
#include"c1.h"
#include"c6-3.h"
#include"bo6-3.cpp"
void vi(TElemType c)
{
printf(form" ",c);
}
void main()
{
BiThrTree H,T;
#if CHAR
printf("请按先序输入二叉树(如:ab三个空格表示a为根结点,b为左子树的二叉树)
");
#else
printf("请按先序输入二叉树(如:1 2 0 0 0表示1为根结点,2为左子树的二叉树)
");
#endif
CreateBiThrTree(T); // 按先序产生二叉树
InOrderThreading(H,T); // 在中序遍历的过程中，中序线索化二叉树
printf("中序遍历(输出)线索二叉树:
");
InOrderTraverse_Thr(H,vi); // 中序遍历(输出)线索二叉树
printf("
");
DestroyBiThrTree(H); // 销毁线索二叉树
#if CHAR
printf("请按先序输入二叉树(如:ab三个空格表示a为根结点,b为左子树的二叉树)
");
#else
printf("请按先序输入二叉树(如:1 2 0 0 0表示1为根结点,2为左子树的二叉树)
");
#endif
scanf("%*c"); // 吃掉回车符
CreateBiThrTree(T); // 按先序产生二叉树T
PreOrderThreading(H,T); // 在先序遍历的过程中，先序线索化二叉树
printf("先序遍历(输出)线索二叉树:
");
PreOrderTraverse_Thr(H,vi);
DestroyBiThrTree(H); // 销毁线索二叉树
#if CHAR
printf("
请按先序输入二叉树(如:ab三个空格表示a为根结点,b为左子树的二叉树)
");
#else
printf("
请按先序输入二叉树(如:1 2 0 0 0表示1为根结点,2为左子树的二叉树)
");
#endif
scanf("%*c"); // 吃掉回车符
CreateBiThrTree(T); // 按先序产生二叉树T
PostOrderThreading(H,T); // 在后序遍历的过程中，后序线索化二叉树
DestroyBiThrTree(H); // 销毁线索二叉树
}代码的运行结果：
请按先序输入二叉树(如:ab三个空格表示a为根结点,b为左子树的二叉树)
abdg e c f (见图623)
中序遍历(输出)线索二叉树: (见图624)
g d b e a c f
请按先序输入二叉树(如:ab三个空格表示a为根结点,b为左子树的二叉树)
abdg e c f (见图623)
先序遍历(输出)线索二叉树: (见图625)
a b d g e c f
请按先序输入二叉树(如:ab三个空格表示a为根结点,b为左子树的二叉树)
abdg e c f (见图623)
