Pollard Rho 总结

作用：大整数质因数分解

暴力太慢了，于是有大佬发明了这个

Gcd

一个合数一定有一个质因子小于(sqrt{n})，所以 n 至少存在(sqrt{n})个数与 n 有大于 1 的公约数

随机生成

(x=rand(),c=rand()) 随机生成一对数，然后(y=x,x=x^2+c,g=gcd(|y-x|,n)) 经过测试发现 (g>1) 的概率接近 (n^{frac{1}{4}})
具体好像是生日悖论，本蒟蒻不懂。

判环

注意可能会出现环，即出现出现了的数，所以需要判定
用倍增思想，y 现记下 x 的位置，然后 x 跑当前次数一倍的次数。
跑完了之后 y 再记下 x 的位置，次数再翻倍，当 x 等于 y 时，遇到环了

优化

这样应该会 TLE ，经过观察会发现 Gcd 带的 log 很拖时间
若(|y-x|)有和 n 的公约数，那么若干个(|y-x|)乘在一起并取余 n 也有和 n 的公约数
可以用 z 来累计(|y-x|)的乘积，过 127 次在来 Gcd
至于为什么是 127 次，，玄学

注意

1. 可能不用 127 次就遇到环了，由于上面打了倍增，可以再生成了许多次时判环。
2. z 为 0 时没必要继续

分解

1. 若 n 时质数（用 Miller-Rabin ），直接返回
2. Pollard Rho 求出一个非平凡因子
3. 把非平凡因子消掉，继续分解

Code

Luogu P4718

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LL;
typedef unsigned long long uLL;
typedef long double LD;
inline LL Abs(LL x) { return x<0?-x:x; }
inline LL Mul(uLL x,uLL y,LL p) { return (x*y-(uLL)((LD)x/p*y)*p+p)%p; }
inline LL Pow(LL x,LL y,LL p){
	register LL res=1;
	for(;y;y>>=1,x=Mul(x,x,p))
	if(y&1)res=Mul(res,x,p);
	return res;
}
inline bool Mr(LL n,LL p) {
    if(Pow(p,n-1,n)!=1)return 0;
    register LL q=n-1,o;
    while(!(q&1)) {
        q>>=1,o=Pow(p,q,n);
        if(o!=1 && o!=n-1)return 0;
        if(o==n-1)return 1;
    }
    return 1;
}
inline bool Prime(LL n) {
    if(n<2)return false;
    if(n==2||n==3||n==5||n==7||n==43)return true;
    return Mr(n,2)&&Mr(n,3)&&Mr(n,5)&&Mr(n,7)&&Mr(n,43);
}
inline LL Gcd(LL x,LL y) {
    return y?Gcd(y,x%y):x;
}
inline LL Rho(LL n) {
    LL x,y,z,c,g;
    register int p,q;
    for(;;) {
        x=y=rand()%n,c=rand()%n;
        p=0,q=z=1;
        while(++p) {
            x=(Mul(x,x,n)+c)%n;
            z=Mul(z,Abs(y-x),n);
            if(x==y || !z)break;
            if(!(p%127) || p==q) {
                g=Gcd(z,n);
                if(g>1)return g;
                if(p==q)q<<=1,y=x;
            }
        }
    }
}
LL ans;
inline void Dfs(LL n) {
    if(n<=ans)return;
    if(Prime(n)) { ans=n; return; }
    LL p=Rho(n);
    while(n%p==0)n/=p;
    Dfs(p),Dfs(n);
}
int main() {
    srand(20080816);
    LL n,T;
    scanf("%lld",&T);
    while(T--) {
        scanf("%lld",&n);
        ans=0;Dfs(n);
        if(ans==n)puts("Prime");
        else printf("%lld
",ans);
    }
    return 0;
}