BSGS

前言

B（拔）S（山）G（盖）S（世） ，即 Baby Step Giant Step ，大步小步算法。

用于解高次同余方程，形如 \(y^x\equiv z\pmod p\) ，求 x 的最小非负整数解

普通 BSGS

• 当 \(\gcd(y,p)=1\) 时，可以使用本算法

• 将 x 表示为 \(am-b,m=\sqrt{p},b<m\) ，那么原式变为 \(y^{am}\equiv zy^b\pmod p\)

• 枚举 b 的所有值，把右边的值用哈希或 map 存起来

• 对于左边，枚举 a ，查询右边是否有相等即可

• 时间复杂度 \(O(\sqrt{p})\)

模板

1. SDOI 2011 计算器
   • 操作一：快速幂
   • 操作二：exgcd
   • 操作三：普通 bsgs

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LL;
inline LL Pow(LL x,LL y,LL p) {
	register LL res=1;
	for(;y;y>>=1,x=(x*x)%p)
	if(y&1)res=(res*x)%p;
	return res;
}
LL exgcd(LL p,LL q,LL &x,LL &y) {
	if(!q)return x=1,y=0,p;
	register LL gcd=exgcd(q,p%q,y,x);
	return y-=p/q*x,gcd;
}
const int Su=100007;
struct HASH {
	int cnt,lst[Su],nxt[Su],id[Su]; LL vl[Su];
	inline void Clear() { memset(lst,0,sizeof(lst)),cnt=0; }
	inline void Ins(LL x,int p) {
		vl[++cnt]=x,id[cnt]=p,x%=Su;
		nxt[cnt]=lst[x],lst[x]=cnt;
	}
	inline int Find(LL x) {
		for(int i=lst[x%Su];i;i=nxt[i])
			if(vl[i]==x)return id[i];
		return -1;
	}
}hs;
inline LL BSGS(LL x,LL y,LL p) {
	if(x%p==0)return -1;
	x%=p,y%=p;
	if(y==1)return 0;
	register int z=sqrt(p)+1;
	register LL sx=y,sy;
	hs.Clear();
	for(register int i=0;i<z;++i,sx=sx*x%p)
		hs.Ins(sx,i);
	sy=Pow(x,z,p),sx=1;
	for(register int i=1,k;i<=z;++i) {
		sx=sx*sy%p,k=hs.Find(sx);
		if(k!=-1)return 1LL*i*z-1LL*k;
	}
	return -1;
}
int T,K;
int main() {
	scanf("%d%d",&T,&K);
	for(LL x,y,p,tmp,u,v;T--;) {
		scanf("%lld%lld%lld",&x,&y,&p);
		if(K==1)printf("%lld\n",Pow(x,y,p));
		else if(K==2) {
			tmp=exgcd(x,p,u,v);
			if(y%tmp)puts("Orz, I cannot find x!");
			else u*=y/tmp,v=p/tmp,printf("%lld\n",(u%v+v)%v);
		} else {
			tmp=BSGS(x%p,y%p,p);
			if(tmp<0)puts("Orz, I cannot find x!");
			else printf("%lld\n",tmp);
		}
	}
}

EX BSGS

• 当 \(\gcd(y,p)\ne 1\) 时使用本算法，设 \(d=\gcd(y,p)\)
• 把原式写为 \(y*y^{x-1}+k*p=z,k\in\mathbb{Z}\) 的形式，根据裴蜀定理 ，若 d 不是 z 的约数就无解
• 那么 \(\dfrac{y}{d}y^{x-1}+k*\dfrac{p}{d}=\dfrac{z}{d},d=\gcd(\dfrac{z}{d},y)\) ，一直做到 \(d=1\)
• 设 d 的乘积为 g ，做了 c 次
• 令 \(x'=x-c,p'=\dfrac{p}{g},z'=\dfrac{z}{g}\)
• 那么 \(y^{x'}*\dfrac{y^c}{g}\equiv z'\pmod{p'}\)
• 用普通 BSGS 求解即可

模板

SPOJ Power Modulo Inverted

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LL;
inline LL Pow(LL x,LL y,LL p) {
	register LL res=1;
	for(;y;y>>=1,x=x*x%p)
	if(y&1)res=res*x%p;
	return res;
}
inline LL Gcd(LL p,LL q) { return q?Gcd(q,p%q):p; }
const int Su=100007;
struct HASH {
	int cnt,nxt[Su],lst[Su],id[Su]; LL vl[Su];
	inline void Clear() { memset(lst,0,sizeof(lst)),cnt=0; }
	inline void Ins(LL x,int p) {
		vl[++cnt]=x,id[cnt]=p,x%=Su;
		nxt[cnt]=lst[x],lst[x]=cnt;
	}
	inline int Find(LL x) {
		for(int i=lst[x%Su];i;i=nxt[i])
			if(vl[i]==x)return id[i];
		return -1;
	}
}hs;
LL x,y,p,ans;
inline LL EX_BSGS() {
	x%=p,y%=p;
	if(y==1)return 0;
	register LL cnt=0,k=1;
	for(LL d=Gcd(x,p);d>1;d=Gcd(x,p)) {
		if(y%d)return -1;
		y/=d,p/=d,++cnt,k=k*x/d%p;
		if(k==y)return cnt;
	}
	hs.Clear();
	register int z=sqrt(p)+1;
	register LL sx=y,sy;
	for(int i=0;i<z;i++,sx=sx*x%p)
		hs.Ins(sx,i);
	sy=Pow(x,z,p),sx=k;
	for(int i=1,o;i<=z;i++) {
		sx=sx*sy%p,o=hs.Find(sx);
		if(o!=-1)return i*z-o+cnt;
	}
	return -1;
}
int main() {
	scanf("%lld%lld%lld",&x,&p,&y);
	for(;x|y|p;) {
		ans=EX_BSGS();
		if(ans<0)puts("No Solution");
		else printf("%lld\n",ans);
		scanf("%lld%lld%lld",&x,&p,&y);
	}
}