【BZOJ 1096】 [ZJOI2007]仓库建设 （斜率优化）

1096: [ZJOI2007]仓库建设

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Description

　　L公司有N个工厂，由高到底分布在一座山上。如图所示，工厂1在山顶，工厂N在山脚。由于这座山处于高原内
陆地区（干燥少雨），L公司一般把产品直接堆放在露天，以节省费用。突然有一天，L公司的总裁L先生接到气象
部门的电话，被告知三天之后将有一场暴雨，于是L先生决定紧急在某些工厂建立一些仓库以免产品被淋坏。由于
地形的不同，在不同工厂建立仓库的费用可能是不同的。第i个工厂目前已有成品Pi件，在第i个工厂位置建立仓库
的费用是Ci。对于没有建立仓库的工厂，其产品应被运往其他的仓库进行储藏，而由于L公司产品的对外销售处设
置在山脚的工厂N，故产品只能往山下运（即只能运往编号更大的工厂的仓库），当然运送产品也是需要费用的，
假设一件产品运送1个单位距离的费用是1。假设建立的仓库容量都都是足够大的，可以容下所有的产品。你将得到
以下数据：1：工厂i距离工厂1的距离Xi（其中X1=0）;2：工厂i目前已有成品数量Pi;:3：在工厂i建立仓库的费用
Ci;请你帮助L公司寻找一个仓库建设的方案，使得总的费用（建造费用+运输费用）最小。

Input

　　第一行包含一个整数N，表示工厂的个数。接下来N行每行包含两个整数Xi, Pi, Ci, 意义如题中所述。

Output

　　仅包含一个整数，为可以找到最优方案的费用。

Sample Input

3
0 5 10
5 3 100
9 6 10

Sample Output

32

HINT

在工厂1和工厂3建立仓库，建立费用为10+10=20，运输费用为(9-5)*3 = 12，总费用32。如果仅在工厂3建立仓库，建立费用为10，运输费用为(9-0)*5+(9-5)*3=57，总费用67，不如前者优。

【数据规模】

对于100%的数据， N ≤1000000。 所有的Xi, Pi, Ci均在32位带符号整数以内，保证中间计算结果不超过64位带符号整数。 

【分析】

　　截距式的斜率优化虽然好想，但是真的推导过程总是各种错TAT

　　for i 1~n　　

　　f[i]=f[j]+p[k]*(x[k]-x[j]) +c[i](i<k<=j) [f(i)表示在i处建站，枚举上一个建站位置j

　　设s1[i]=sigma(p[1~i]) s2[i]=sigma(-p[1~i]*x[1~i])

　　得 f[i]=-s1[i]*x[j]+ s1[j]*x[j]+s2[j]+f[j] - s2[i]+x[i]

　　斜率s1[i]单调递减，维护一个下凸包即可。

代码如下：

#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<queue>
#include<cmath>
using namespace std;
#define Maxn 1000010
#define LL long long

// LL x[Maxn],p[Maxn],c[Maxn];
LL s1[Maxn],s2[Maxn],f[Maxn];

struct hp
{
    LL x,p,c;
}d[Maxn];

struct node
{
    LL x,y;
}t[Maxn];LL cnt;
LL n;

bool cmp(hp x,hp y) {return x.x<y.x;}
LL mymin(LL x,LL y) {return x<y?x:y;}

void init()
{
    scanf("%lld",&n);
    for(LL i=1;i<=n;i++)
    {
        scanf("%lld%lld%lld",&d[i].x,&d[i].p,&d[i].c);
    }
    // sort(d+1,d+1+n,cmp);
    s2[0]=0;s1[0]=0;
    for(LL i=1;i<=n;i++)
    {
        s1[i]=s1[i-1]+d[i].p;
        s2[i]=s2[i-1]-d[i].p*d[i].x;
    }
}

bool check(LL x,LL y,LL k)
{
    return (t[y].y-t[x].y)<=k*(t[y].x-t[x].x);
}

bool check2(LL x,LL y,LL z)
{
    return (t[x].y-t[z].y)*(t[x].x-t[y].x)<=(t[x].x-t[z].x)*(t[x].y-t[y].y);
}

void ffind()
{
    LL cnt=0,st;
    f[n]=d[n].c;
    t[++cnt].x=d[n].x;t[cnt].y=s1[n]*d[n].x+s2[n]+f[n];st=1;
    LL ans=t[1].y;
    for(LL i=n-1;i>=1;i--)
    {
        while(st<cnt&&check(st,st+1,s1[i])) st++;
        f[i]=-s1[i]*t[st].x+t[st].y-s2[i]+d[i].c;
        //-s1[i]*x[j]+ s1[j]*x[j]+s2[j] - s2[i]
        t[0].x=d[i].x;t[0].y=s1[i]*d[i].x+s2[i]+f[i];
        while(st<cnt&&check2(cnt,cnt-1,0)) cnt--;
        t[++cnt]=t[0];
        ans=mymin(ans,t[cnt].y);
    }
    printf("%lld
",ans);
}

int main()
{
    init();
    ffind();
    return 0;
}

2016-09-18 13:17:39