【BZOJ 2118】 2118: 墨墨的等式 （最短路）

2118: 墨墨的等式

Description

墨墨突然对等式很感兴趣，他正在研究a1x1+a2y2+…+anxn=B存在非负整数解的条件，他要求你编写一个程序，给定N、{an}、以及B的取值范围，求出有多少B可以使等式存在非负整数解。

Input

输入的第一行包含3个正整数，分别表示N、BMin、BMax分别表示数列的长度、B的下界、B的上界。输入的第二行包含N个整数，即数列{an}的值。

Output

输出一个整数，表示有多少b可以使等式存在非负整数解。

Sample Input

2 5 10
3 5

Sample Output

5

HINT

对于100%的数据，N≤12，0≤ai≤5*10^5，1≤BMin≤BMax≤10^12。

Source

【分析】

　　看了好久题解，感觉好机智啊。。

　　题目可以理解成经典的背包问题。只是他问你的是[L,R]区间中有多少个容积是恰好可以装满的。

　　然后这个范围很大啊，传统的暴力当然是行不通的了。

　　考虑一个可以被拼出来的x，他里面可以包含ai也可以不包含ai。设x%ai=b(0<=b<ai)

　　那么其实x+ai都可以被拼出来，显然。

　　所以我们只要对于一个b，求出最小的可以拼出来的x，那么一直加ai也是可以的。

　　直接把不同的b算出来的答案加起来就好了。

　　要证明的话只要说明两个东西：

　　1、不重复性，对于不同的可以拼出的x1,x2,如果他们%ai不同，那就不会算重复。

　　　　如果他们%ai相同，也不会算重复【233我在搞笑？】

　　2、不遗漏性，对于可以拼出来的x1，有一个模对应的b，那么肯定会算到嘛= =【233

　　所以就这样搞笑的证明了？？

　　【想出来的人思路真的很妙【我根本看不出是最短路啊ORZ。。。

#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<queue>
#include<vector>
using namespace std;
#define LL long long
#define Maxm 7000100
#define Maxn 500010
#define INF 1000000000000LL

int a[20];

struct node
{
    int x,y,next;
    LL c;
}t[Maxm];int len=0;

// vector<int > e[Maxn],c[Maxn];

int first[Maxn];

void ins(int x,int y,LL c)
{
    t[++len].x=x;t[len].y=y;t[len].c=c;
    t[len].next=first[x];first[x]=len;
}

LL dis[Maxn];
bool inq[Maxn];
queue<int > q;
void spfa()
{
    int st=0;
    while(!q.empty()) q.pop();
    memset(inq,0,sizeof(inq));
    // memset(dis,63,sizeof(dis));
    for(int i=0;i<a[1];i++) dis[i]=INF;
    q.push(st);dis[st]=0;inq[st]=1;
    while(!q.empty())
    {
        int x=q.front();
        for(int i=first[x];i;i=t[i].next)
        {
            int y=t[i].y;
        // for(int i=0;i<e[x].size();i++)
        // {
            // int y=e[x][i];
            if(dis[y]>dis[x]+t[i].c)
            {
                dis[y]=dis[x]+t[i].c;
                // dis[y]=dis[x]+c[x][i];
                while(!inq[y])
                {
                    inq[y]=1;
                    q.push(y);
                }
            }
        }
        inq[x]=0;
        q.pop();
    }
}

LL get_ans(LL x,LL y)
{
    if(x<y) return 0;
    return (x-y)/a[1]+1;
}

int main()
{
    int n;
    LL L,R;
    scanf("%d%lld%lld",&n,&L,&R);
    for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&a[i]);
    sort(a+1,a+1+n);
    memset(first,0,sizeof(first));
    for(int i=1;i<=n;i++)
     for(int j=0;j<a[1];j++)
     {
         ins(j,(j+a[i])%a[1],a[i]);
     }
    spfa();
    LL ans=0;
    for(int i=0;i<a[1];i++) 
        ans+=get_ans(R,dis[i])-get_ans(L-1,dis[i]);
    printf("%lld
",ans);
    return 0;
}

WA了很久竟然是spfa打错了。。。

2017-01-13 19:05:54