【BZOJ 2669】 2669: [cqoi2012]局部极小值 （状压DP+容斥原理）

2669: [cqoi2012]局部极小值

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Description

有一个n行m列的整数矩阵，其中1到nm之间的每个整数恰好出现一次。如果一个格子比所有相邻格子（相邻是指有公共边或公共顶点）都小，我们说这个格子是局部极小值。

给出所有局部极小值的位置，你的任务是判断有多少个可能的矩阵。

Input

输入第一行包含两个整数n和m（1<=n<=4, 1<=m<=7），即行数和列数。以下n行每行m个字符，其中“X”表示局部极小值，“.”表示非局部极小值。

Output

输出仅一行，为可能的矩阵总数除以12345678的余数。

Sample Input

3 2
X.
..
.X

Sample Output

60

HINT

Source

【分析】

　　我好蠢啊。。。

　　保证每个数各不相同，又有大小关系，那么、、数字从小到大填。

　　其实局部极小值<=8的，这个可以状压，$f[i][j]$表示填了前i个数，局部极小值被填的状态是j的方案数。

　　有：

　　$f[i][j]=f[i-1][j]*(p[j]-i+1)+f[i-1][j-(1<<X)]$

　　但是，还要保证一点是非极小值一定非极小，上面没有保证，

　　所以枚举哪些非极小弄成了极小，容斥算出正确答案即可。

　　复杂度？$O（dfs*n*m*8*2^8）$大概是这样吧。。数据很小嘛。。。

#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
#define Mod 12345678
#define LL long long

int a[5][8],num[5][8],p[310];
int n,m;
int bx[10]={0,1,0,-1,0,1,-1,1,-1},
    by[10]={0,0,1,0,-1,1,-1,-1,1};
char s[10];
bool vis[5][8];
LL f[30][310],ans=0;

LL get_ans()
{
    int cnt=0;
    for(int i=1;i<=n;i++)
     for(int j=1;j<=m;j++) if(a[i][j]==1) num[i][j]=++cnt;
    for(int k=0;k<=(1<<cnt)-1;k++)
    {
        for(int i=1;i<=n;i++) for(int j=1;j<=m;j++) vis[i][j]=1;
        for(int i=1;i<=n;i++)
         for(int j=1;j<=m;j++) if(a[i][j]==1&&((1<<num[i][j]-1)&k)==0)
         {
             for(int l=1;l<=8;l++)
             {
                int nx=i+bx[l],ny=j+by[l];
                vis[nx][ny]=0;
             }
         }
        p[k]=0;
        for(int i=1;i<=n;i++)
         for(int j=1;j<=m;j++) if(vis[i][j]&&a[i][j]==0) {p[k]++;vis[i][j]=0;}
        for(int i=1;i<=cnt;i++) if((1<<i-1)&k) p[k]++;
    }
    memset(f,0,sizeof(f));
    f[0][0]=1;
    for(int i=1;i<=n*m;i++)
     for(int j=0;j<=(1<<cnt)-1;j++)
     {
         f[i][j]=f[i-1][j]*(p[j]-i+1);f[i][j]%=Mod;
         for(int k=1;k<=cnt;k++) if((1<<k-1)&j)
         {
             f[i][j]+=f[i-1][j-(1<<k-1)];
             f[i][j]%=Mod;
         }
     }
    return f[n*m][(1<<cnt)-1];
}

void dfs(int x,int y,int f)
{
    if(y==m+1) {dfs(x+1,1,f);return;}
    if(x==n+1)
    {
        ans+=f*get_ans();
        ans=(ans%Mod+Mod)%Mod;
        return;
    }
    if(a[x][y]==1) {dfs(x,y+1,f);return;}
    bool ok=1;
    for(int i=1;i<=8;i++)
    {
        int nx=x+bx[i],ny=y+by[i];
        if(nx<1||nx>n||ny<1||ny>m) continue;
        if(a[nx][ny]==1) {ok=0;break;}
    }
    if(ok)
    {
        a[x][y]=1;
        dfs(x,y+1,-f);
        a[x][y]=0;
    }
    dfs(x,y+1,f);
}

int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        scanf("%s",s+1);
        for(int j=1;j<=m;j++)
        {
            if(s[j]=='X') a[i][j]=1;
            else a[i][j]=0;
        }
    }
    for(int i=1;i<=n;i++)
     for(int j=1;j<=m;j++) if(a[i][j]==1)
     {
         for(int k=1;k<=8;k++)
         {
             int nx=i+bx[i],ny=j+by[i];
             if(nx<1||nx>n||ny<1||ny>m) continue;
             if(a[nx][ny]==1) {printf("0
");return 0;}
         }
     }
    // memset(vis,1,sizeof(vis));
    dfs(1,1,1);
    printf("%lld
",ans);
    return 0;
}

2017-04-06 10:08:51