【OpenJudge 2.6-1775】讲一讲背包问题（一）【背包DP】

1775:采药

描述

辰辰是个很有潜能、天资聪颖的孩子，他的梦想是称为世界上最伟大的医师。为此，他想拜附近最有威望的医师为师。医师为了判断他的资质，给他出了一个难题。医师把他带到个到处都是草药的山洞里对他说：“孩子，这个山洞里有一些不同的草药，采每一株都需要一些时间，每一株也有它自身的价值。我会给你一段时间，在这段时间里，你可以采到一些草药。如果你是一个聪明的孩子，你应该可以让采到的草药的总价值最大。”

如果你是辰辰，你能完成这个任务吗？

输入

输入的第一行有两个整数T（1 <= T <= 1000）和M（1 <= M <= 100），T代表总共能够用来采药的时间，M代表山洞里的草药的数目。接下来的M行每行包括两个在1到100之间（包括1和100）的的整数，分别表示采摘某株草药的时间和这株草药的价值。

输出

输出只包括一行，这一行只包含一个整数，表示在规定的时间内，可以采到的草药的最大总价值。

样例输入

70 3
71 100
69 1
1 2

样例输出

　　3

我从学DP 到现在已经过去两个月了，现在唯一就是知道DP是动态规划，剩下就咸鱼了。所以我决定复习DP，写写DP的题。

来说一说今天的主题：背包问题。
背包问题最开始是这样的：
现在你有一个容量有限制的背包，还有许多有体积和价值的物品，物品的体积和价值各不相同。而背包问题问的就是在限定的体积下，你最多能装多大价值的物品。

基本上裸的背包题都是这个套路，当然价值可以变成时间什么的，像“采药”这道题，背包就是有限的时间，而价值就是采一种药的时间（多写写背包问题就能明显发现一道题是不是背包）。

好了，开始上课。

首先，给出背包问题的模板

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int maxn = 102, maxT = 1005;
int f[maxn][maxT];  //i个物品选择一些物品， 总体积为j
int main()
{

    int T, n; cin >> T >> n;

    for (int i = 1; i <= n; ++i)
    {
        int V, C; cin >> V >> C;

        for (int j = 0; j <= T; ++j) 
            f[i][j] = f[i - 1][j]; //不选这个物品
        
        for (int j = 0; j + V <= T; ++j) //选这个物品
            if ((f[i][j + V]) < (f[i - 1][j] + C))
                (f[i][j + V]) = (f[i - 1][j] + C);
    }
    cout << f[n][T] << endl;
}

能看懂的就可以跳过下面的部分然后去A题了，没看懂的不要着急，我会慢慢讲。

先解释一下各变量和数组都是干什么的。
f[i][j]表示背包容量为j时选了i件物品的最大价值，T，n分别表示背包容量，物品件数，V C就是每件物品的体积和价值。
每输入一组数据，就将状态更新一次，代码的注释也写得很清楚，我们的策略是默认先不选择这个物品，所以f[i][j] = f[i - 1][j]是将当前状态记为和之前一样的状态，就相当于没有选择这个物品；而在更新的时候我们判断只要装入它不超容量，并且价值比原价值大的话，就装入它。

P.S.这是一道极其典型的背包问题，是最基础的背包问题，因为状态只有“0”和“1”（不装和装）两种，所以被称作“01背包”。