题意：求中
互质的数的个数，其中
。
分析：因为，所以
，我们很容易知道如下结论
对于两个正整数和
，如果
是
的倍数，那么
中与
互素的数的个数为
本结论是很好证明的，因为中与
互素的个数为
，又知道
，所以
结论成立。那么对于本题，答案就是
事实上只要把素数的逆元用exgcd求一求就好，其余并未用到
逆元递推法：
#include<stdio.h> #include<string.h> const int N=1e7+112; typedef long long ll; int pr[N],p[N],cnt,mod; int inv[N],ans1[N],ans2[N]; int read() { int x=0;char ch=getchar(); while(ch<'0'||ch>'9')ch=getchar(); while(ch>='0'&&ch<='9'){x=x*10+ch-'0';ch=getchar();} return x; } void init(){ ans1[1]=ans2[1]=inv[1]=1; for(int i=2;i<N;i++){ ans1[i]=(ll)ans1[i-1]*i%mod; if(!p[i]) pr[++cnt]=i; for(int j=1;j<=cnt&&i*pr[j]<N;j++){ p[pr[j]*i]=1; if(i%pr[j]==0) break; } } for(int i=2;i<N&&i<mod;i++){ inv[i]=(mod-(ll)mod/i)*inv[mod%i]%mod; } for(int i=2;i<N;i++){ ans2[i]=ans2[i-1]; if(!p[i]) ans2[i]=(ll)ans2[i]*(i-1)%mod*inv[i%mod]%mod; } } int main(){ int t,n,m; scanf("%d%d",&t,&mod); init(); while(t--){ n=read();m=read(); printf("%d ",(ll)ans1[n]*ans2[m]%mod); } return 0; }
扩展欧几里德求逆元
#include<stdio.h> #include<string.h> const int N=1e7+112; typedef long long ll; int pr[N],p[N],cnt,mod; int inv[N],ans1[N],ans2[N]; int read() { int x=0;char ch=getchar(); while(ch<'0'||ch>'9')ch=getchar(); while(ch>='0'&&ch<='9'){x=x*10+ch-'0';ch=getchar();} return x; } int ex_gcd(int a,int b,int &x,int &y){ if(!b){ x=1,y=0; return a; } int ans=ex_gcd(b,a%b,y,x); y-=a/b*x; return ans; } int getinv(int i){ int x,y; ex_gcd(i,mod,x,y); x=((x%mod)+mod)%mod; return x; } void init(){ ans1[1]=ans2[1]=inv[1]=1; for(int i=2;i<N;i++){ ans1[i]=(ll)ans1[i-1]*i%mod; if(!p[i]) pr[++cnt]=i,inv[i]=getinv(i); for(int j=1;j<=cnt&&i*pr[j]<N;j++){ p[pr[j]*i]=1; if(i%pr[j]==0) break; } } for(int i=2;i<N;i++){ ans2[i]=ans2[i-1]; if(!p[i]) ans2[i]=(ll)ans2[i]*(i-1)%mod*inv[i%mod]%mod; } } int main(){ int t,n,m; scanf("%d%d",&t,&mod); init(); while(t--){ n=read();m=read(); printf("%d ",(ll)ans1[n]*ans2[m]%mod); } return 0; }