P2258 子矩阵(dp)

P2258 子矩阵

题目描述

给出如下定义：

1. 子矩阵：从一个矩阵当中选取某些行和某些列交叉位置所组成的新矩阵（保持行与列的相对顺序）被称为原矩阵的一个子矩阵。

例如，下面左图中选取第2、4行和第2、4、5列交叉位置的元素得到一个2*3的子矩阵如右图所示。

9 3 3 3 9

9 4 8 7 4

1 7 4 6 6

6 8 5 6 9

7 4 5 6 1

的其中一个2*3的子矩阵是

4 7 4

8 6 9

2. 相邻的元素：矩阵中的某个元素与其上下左右四个元素（如果存在的话）是相邻的。

3. 矩阵的分值：矩阵中每一对相邻元素之差的绝对值之和。

本题任务：给定一个n行m列的正整数矩阵，请你从这个矩阵中选出一个r行c列的子矩阵，使得这个子矩阵的分值最小，并输出这个分值。

(本题目为2014NOIP普及T4)

输入输出格式

输入格式：

第一行包含用空格隔开的四个整数n，m，r，c，意义如问题描述中所述，每两个整数之间用一个空格隔开。

接下来的n行，每行包含m个用空格隔开的整数，用来表示问题描述中那个n行m列的矩阵。

输出格式：

输出共1行，包含1个整数，表示满足题目描述的子矩阵的最小分值。

输入输出样例

输入样例#1：

5 5 2 3
9 3 3 3 9
9 4 8 7 4
1 7 4 6 6
6 8 5 6 9
7 4 5 6 1

输出样例#1：

6

输入样例#2：

7 7 3 3  
7 7 7 6 2 10 5
5 8 8 2 1 6 2 
2 9 5 5 6 1 7 
7 9 3 6 1 7 8 
1 9 1 4 7 8 8 
10 5 9 1 1 8 10
1 3 1 5 4 8 6

输出样例#2：

16

说明

【输入输出样例1说明】

该矩阵中分值最小的2行3列的子矩阵由原矩阵的第4行、第5行与第1列、第3列、第4列交叉位置的元素组成，为

6 5 6

7 5 6

，其分值为

|6−5| + |5−6| + |7−5| + |5−6| + |6−7| + |5−5| + |6−6| =6。

【输入输出样例2说明】

该矩阵中分值最小的3行3列的子矩阵由原矩阵的第4行、第5行、第6行与第2列、第6列、第7列交叉位置的元素组成，选取的分值最小的子矩阵为

9 7 8 9 8 8 5 8 10

【数据说明】

对于50%的数据，1 ≤ n ≤ 12，1 ≤ m ≤ 12，矩阵中的每个元素1 ≤ a[i][j] ≤ 20；

对于100%的数据，1 ≤ n ≤ 16，1 ≤ m ≤ 16，矩阵中的每个元素1 ≤ a[i][j] ≤ 1,000，

1 ≤ r ≤ n，1 ≤ c ≤ m。

/*
好题 
枚举完行后，由于行已确定，因此可以把所有行捆绑，视为一个整体。
设dp[i][k]表示前i列选了k列，并且第i列强制被选。
那么转移方程为：dp[i][k]=dp[j][k-1]+cost[j][i]+val[i]
其中j<i，cost[j][i]表示第i列与第j列相邻的花费，val[i]表示第i列内的花费。
答案即为max{dp[i][c]}。
*/
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cstdlib>

#define maxn 18

using namespace std;
int n,m,ans,num,r,c;
int a[maxn][maxn],dp[maxn][maxn];
int cost[maxn][maxn],val[maxn],R[maxn];

int DP()
{
    int res=1e9;
    for (int i=1;i<=m;++i)//处理每一列的花费 
    {
        val[i]=0;
        for (int j=1;j<r;++j)
            val[i]+=abs(a[R[j]][i]-a[R[j+1]][i]);
    }
    for(int i=1;i<=m;i++)//处理列与列之间的花费 
      for(int j=i+1;j<=m;j++)
      {
          cost[i][j]=0;
          for(int k=1;k<=r;k++)
            cost[i][j]+=abs(a[R[k]][i]-a[R[k]][j]);
      }
      
    dp[0][0]=0;
    for (int i=1;i<=n;++i) dp[i][0]=0;
    for(int i=1;i<=m;i++)//注意状态的转移
      for(int k=1;k<=i&&k<=c;k++)
      {
          dp[i][k]=1e9;
          for(int j=k-1;j<i;j++)
          {
              dp[i][k]=min(dp[i][k],dp[j][k-1]+cost[j][i]+val[i]);
        }
      }
    for(int i=c;i<=m;i++)
      res=min(res,dp[i][c]);
      return res;
}

void dfs(int u,int cnt)//枚举选哪些行 
{
    if(u>n)
    {
        if(cnt==r) ans=min(ans,DP());
        return;
    }
    dfs(u+1,cnt);
    R[cnt+1]=u;
    dfs(u+1,cnt+1);
}

int main()
{
    scanf("%d%d%d%d",&n,&m,&r,&c);
    for(int i=1;i<=n;i++)
      for(int j=1;j<=m;j++)
        scanf("%d",&a[i][j]);
    ans=1e9;
    dfs(1,0);
    printf("%d
",ans);
}