平衡二叉树（AVL树）

参考资料

http://www.cnblogs.com/Cmpl/archive/2011/06/05/2073217.html

http://www.cnblogs.com/yc_sunniwell/archive/2010/06/27/1766236.html

http://www.cnblogs.com/suimeng/p/4560056.html

http://blog.csdn.net/gabriel1026/article/details/6311339

http://www.cnblogs.com/zhangbaochong/p/5164994.html

一、基本概念

平衡二叉查找树：

简称平衡二叉树。由前苏联的数学家Adelse-Velskil和Landis在1962年提出的高度平衡的二叉树，根据科学家的英文名也称为AVL树。它具有如下几个性质：

1. 可以是空树。
2. 假如不是空树，任何一个结点的左子树与右子树都是平衡二叉树，并且高度之差的绝对值不超过1

平衡二叉树一定是二叉查找树。

平衡因子：

左子树的高度减去右子树的高度。由平衡二叉树的定义可知，平衡因子的取值只可能为0,1,-1.分别对应着左右子树等高，左子树比较高，右子树比较高。

最小失衡子树：在新插入的结点向上查找，以第一个平衡因子的绝对值超过1的结点为根的子树称为最小不平衡子树。也就是说，一棵失衡的树，是有可能有多棵子树同时失衡的，如下。而这个时候，我们只要调整最小的不平衡子树，就能够将不平衡的树调整为平衡的树。

二、算法

平衡二叉树算法思想

若 向平衡二叉树中插入一个新结点后破坏了平衡二叉树的平衡性。首先要找出插入新结点后失去平衡的最小子树根结点的指针。然后再调整这个子树中有关结点之间的链接关系，使之成为新的平衡子树。当失去平衡的最小子树被调整为平衡子树后，原有其他所有不平衡子树无需调整，整个二叉排序树就又成为一棵平衡二叉树。失去平衡的最小子树是指以离插入结点最近，且平衡因子绝对值大于1的结点作为根的子树。假设用A表示失去平衡的最小子树的根结点，则调整该子树的操作可归纳为下列四种情况。

1. LL型

个人理解

左旋：旋转中心的父节点绕旋转中心向左下旋转

右旋：旋转中心的父节点绕旋转中心向右下旋转

    平衡二叉树某一节点的左孩子的左子树上插入一个新的节点，使得该节点不再平衡。这时只需要把树向右旋转一次即可，如图所示，原A的左孩子B变为父结点，A变为其右孩子，而原B的右子树变为A的左子树，注意旋转之后Brh是A的左子树（图上忘在A于Brh之间标实线）

 

2. RR型

    平衡二叉树某一节点的右孩子的右子树上插入一个新的节点，使得该节点不再平衡。这时只需要把树向左旋转一次即可，如图所示，原A右孩子B变为父结点，A变为其左孩子，而原B的左子树Blh将变为A的右子树。

3. LR型（最小失衡子树的根节点（A）的左孩子(B)的右孩子（C）为旋转点左旋，然后再以这个点(C)右旋）

      平衡二叉树某一节点的左孩子的右子树上插入一个新的节点，使得该节点不再平衡。这时需要旋转两次，仅一次的旋转是不能够使二叉树再次平衡。如图所示，在B节点按照RR型向左旋转一次之后，二叉树在A节点仍然不能保持平衡，这时还需要再向右旋转一次。

4. RL型（最小失衡子树的根节点（A）的右孩子(B)的左孩子（C）为旋转点右旋，然后再以这个点(C)左旋）

      平衡二叉树某一节点的右孩子的左子树上插入一个新的节点，使得该节点不再平衡。同样，这时需要旋转两次，旋转方向刚好同LR型相反。

删除节点

删除则稍微麻烦点，因为我们删的不一定是叶子，如果只是叶子，那就好办，如果不是呢？我们最通常的做法就是把这个节点往下挪，直到它变为叶子为止，看图。

也许你要问，如果和左子树最大节点交换后，要删除的节点依然不是叶子，那怎么办呢？那继续呗，看图：

那左子树不存在的情况下呢？你可以查找右子树的最小节点，和上面是类似的，图我就不画了。

三、示例代码

#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
#pragma once

//平衡二叉树结点
template <typename T>
struct AvlNode
{
    T data;
    int height; //结点所在高度
    AvlNode<T> *left;
    AvlNode<T> *right;
    AvlNode<T>(const T theData) : data(theData), left(NULL), right(NULL), height(0){}
};

//AvlTree
template <typename T>
class AvlTree
{
public:
    AvlTree<T>(){}
    ~AvlTree<T>(){}
    AvlNode<T> *root;
    //插入结点
    void Insert(AvlNode<T> *&t, T x);
    //删除结点
    bool Delete(AvlNode<T> *&t, T x);
    //查找是否存在给定值的结点
    bool Contains(AvlNode<T> *t, const T x) const;
    //中序遍历
    void InorderTraversal(AvlNode<T> *t);
    //前序遍历
    void PreorderTraversal(AvlNode<T> *t);
    //最小值结点
    AvlNode<T> *FindMin(AvlNode<T> *t) const;
    //最大值结点
    AvlNode<T> *FindMax(AvlNode<T> *t) const;
private:
    //求树的高度
    int GetHeight(AvlNode<T> *t);
    //单旋转 左
    AvlNode<T> *LL(AvlNode<T> *t);
    //单旋转 右
    AvlNode<T> *RR(AvlNode<T> *t);
    //双旋转 右左
    AvlNode<T> *LR(AvlNode<T> *t);
    //双旋转 左右
    AvlNode<T> *RL(AvlNode<T> *t);
};

template <typename T>
AvlNode<T> * AvlTree<T>::FindMax(AvlNode<T> *t) const
{
    if (t == NULL)
        return NULL;
    if (t->right == NULL)
        return t;
    return FindMax(t->right);
}

template <typename T>
AvlNode<T> * AvlTree<T>::FindMin(AvlNode<T> *t) const
{
    if (t == NULL)
        return NULL;
    if (t->left == NULL)
        return t;
    return FindMin(t->left);
}


template <typename T>
int AvlTree<T>::GetHeight(AvlNode<T> *t)
{
    if (t == NULL)
        return -1;
    else
        return t->height;
}


//单旋转
//左左插入导致的不平衡
template <typename T>
AvlNode<T> * AvlTree<T>::LL(AvlNode<T> *t)
{
    AvlNode<T> *q = t->left;
    t->left = q->right;
    q->right = t;
    t = q;
    t->height = max(GetHeight(t->left), GetHeight(t->right)) + 1;
    q->height = max(GetHeight(q->left), GetHeight(q->right)) + 1;
    return q;
}

//单旋转
//右右插入导致的不平衡
template <typename T>
AvlNode<T> * AvlTree<T>::RR(AvlNode<T> *t)
{
    AvlNode<T> *q = t->right;
    t->right = q->left;
    q->left = t;
    t = q;
    t->height = max(GetHeight(t->left), GetHeight(t->right)) + 1;
    q->height = max(GetHeight(q->left), GetHeight(q->right)) + 1;
    return q;
}

//双旋转 
//插入点位于t的左儿子的右子树
template <typename T>
AvlNode<T> * AvlTree<T>::LR(AvlNode<T> *t)
{
    //双旋转可以通过两次单旋转实现
    //对t的左结点进行RR旋转，再对根节点进行LL旋转
    RR(t->left);
    return LL(t);
}

//双旋转
//插入点位于t的右儿子的左子树
template <typename T>
AvlNode<T> * AvlTree<T>::RL(AvlNode<T> *t)
{
    LL(t->right);
    return RR(t);
}


template <typename T>
void AvlTree<T>::Insert(AvlNode<T> *&t, T x)
{
    if (t == NULL)
        t = new AvlNode<T>(x);
    else if (x < t->data)
    {
        Insert(t->left, x);
        //判断平衡情况
        if (GetHeight(t->left) - GetHeight(t->right) > 1)
        {
            //分两种情况 左左或左右

            if (x < t->left->data)//左左
                t = LL(t);
            else                  //左右
                t = LR(t);
        }
    }
    else if (x > t->data)
    {
        Insert(t->right, x);
        if (GetHeight(t->right) - GetHeight(t->left) > 1)
        {
            if (x > t->right->data)
                t = RR(t);
            else
                t = RL(t);
        }
    }
    else
        ;//数据重复
    t->height = max(GetHeight(t->left), GetHeight(t->right)) + 1;
}

template <typename T>
bool AvlTree<T>::Delete(AvlNode<T> *&t, T x)
{
    //t为空 未找到要删除的结点
    if (t == NULL)
        return false;
    //找到了要删除的结点
    else if (t->data == x)
    {
        //左右子树都非空
        if (t->left != NULL && t->right != NULL)
        {//在高度更大的那个子树上进行删除操作

            //左子树高度大，删除左子树中值最大的结点，将其赋给根结点
            if (GetHeight(t->left) > GetHeight(t->right))
            {
                t->data = FindMax(t->left)->data;
                Delete(t->left, t->data);
            }
            else//右子树高度更大，删除右子树中值最小的结点，将其赋给根结点
            {
                t->data = FindMin(t->right)->data;
                Delete(t->right, t->data);
            }
        }
        else
        {//左右子树有一个不为空，直接用需要删除的结点的子结点替换即可
            AvlNode<T> *old = t;
            t = t->left ? t->left: t->right;//t赋值为不空的子结点
            delete old;
        }
    }
    else if (x < t->data)//要删除的结点在左子树上
    {
        //递归删除左子树上的结点
        Delete(t->left, x);
        //判断是否仍然满足平衡条件
        if (GetHeight(t->right) - GetHeight(t->left) > 1)
        {
            if (GetHeight(t->right->left) > GetHeight(t->right->right))
            {
                //RL双旋转
                t = RL(t);
            }
            else
            {//RR单旋转
                t = RR(t);
            }
        }
        else//满足平衡条件 调整高度信息
        {
            t->height = max(GetHeight(t->left), GetHeight(t->right)) + 1;
        }
    }
    else//要删除的结点在右子树上
    {
        //递归删除右子树结点
        Delete(t->right, x);
        //判断平衡情况
        if (GetHeight(t->left) - GetHeight(t->right) > 1)
        {
            if (GetHeight(t->left->right) > GetHeight(t->left->left))
            {
                //LR双旋转
                t = LR(t);
            }
            else
            {
                //LL单旋转
                t = LL(t);
            }
        }
        else//满足平衡性 调整高度
        {
            t->height = max(GetHeight(t->left), GetHeight(t->right)) + 1;
        }
    }
    
    return true;
}

//查找结点
template <typename T>
bool AvlTree<T>::Contains(AvlNode<T> *t, const T x) const
{
    if (t == NULL)
        return false;
    if (x < t->data)
        return Contains(t->left, x);
    else if (x > t->data)
        return Contains(t->right, x);
    else
        return true;
}

//中序遍历
template <typename T>
void AvlTree<T>::InorderTraversal(AvlNode<T> *t)
{
    if (t)
    {
        InorderTraversal(t->left);
        cout << t->data << ' ';
        InorderTraversal(t->right);
    }
}

//前序遍历
template <typename T>
void AvlTree<T>::PreorderTraversal(AvlNode<T> *t)
{
    if (t)
    {
        cout << t->data << ' ';
        PreorderTraversal(t->left);
        PreorderTraversal(t->right);
    }
}

cpp

#include "AvlTree.h"

int main()
{
    AvlTree<int> tree;
    int value;
    int tmp;
    cout << "请输入整数建立二叉树(-1结束)：" << endl;
    while (cin >> value)
    {
        if (value == -1)
            break;
        tree.Insert(tree.root,value);
    }
    cout << "中序遍历";
    tree.InorderTraversal(tree.root);
    cout << "
前序遍历:";
    tree.PreorderTraversal(tree.root);
    cout << "
请输入要查找的结点：";
    cin >> tmp;
    if (tree.Contains(tree.root, tmp))
        cout << "已查找到" << endl;
    else
        cout << "值为" << tmp << "的结点不存在" << endl;
    cout << "请输入要删除的结点：";
    cin >> tmp;
    tree.Delete(tree.root, tmp);
    cout << "删除后的中序遍历：";
    tree.InorderTraversal(tree.root);
    cout << "
删除后的前序遍历：";
    tree.PreorderTraversal(tree.root);
}