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  • 题解 【[CTSC2017]吉夫特】

    【题目描述】

    简单的题目,既是礼物,也是毒药。

    B 君设计了一道简单的题目,准备作为 gift 送给大家。

    输入一个长度为 \(n\) 的数列 \(a_1, a_2 , \dots, a_n\) 问有多少个长度大于等于 \(2\) 的不上升的子序列 \(a_{b_1}, a_{b_2}, \ldots, a_{b_k}\) 满足

    \[\prod\limits_{i = 2} ^ k \binom{a_{b_{i - 1}}}{a_{b_i}} \bmod 2 = \binom{a_{b_1}}{a_{b_2}} \times \binom{a_{b_2}}{a_{b_3}} \times \cdots \times \binom{a_{b_{k - 1}}}{a_{b_k}}\bmod 2 > 0 \]

    输出这个个数对 \(1000000007\) 取模的结果。

    G 君看到题目后,为大家解释了一些基本概念。

    我们选择任意多个整数 \(b_i\) 满足

    \[1 \leq b_1 < b_2 < \cdots < b_{k - 1} < b_k \leq n \]

    我们称 \(a_{b_1}, a_{b_2}, \ldots, a_{b_k}\)\(a\) 的一个子序列。

    如果这个子序列同时还满足

    \[a_{b_1} \geq a_{b_2} \geq \ldots \geq a_{b_k} \]

    我们称这个子序列是不上升的。

    组合数 \(\binom{n}{m}\) 是从 \(n\) 个互不相同的元素中取 \(m\) 个元素的方案数,具体计算方法如下:

    \[\binom{n}{m} = \frac{n!}{m!(n - m)!} = \frac{n \times (n - 1) \times \cdots \times 2 \times 1}{(m \times (m - 1) \times \cdots \times 2 \times 1)((n - m) \times (n - m - 1) \times \cdots \times 2 \times 1)} \]

    这里要特别注意,因为我们只考虑不上升子序列,所以在求组合数的过程中,一定满足 \(n \geq m\),也就是 \(\binom{a_{b_{i - 1}}}{a_{b_i}}\) 中一定有 \(a_{b_{i - 1}} \geq a_{b_i}\)

    我们在这里强调取模 \(x \bmod y\) 的定义:

    \[x \bmod y = x - \lfloor \frac{x}{y} \rfloor \times y \]

    其中 \(\lfloor n \rfloor\) 表示小于等于 \(n\) 的最大整数。

    \(x \bmod 2 > 0\),就是在说 \(x\) 是奇数。

    与此同时,经验告诉我们一个长度为 \(n\) 的序列,子序列个数有 \(O(2 ^ n)\) 个,所以我们通过对答案取模来避免输出过大。

    B 君觉得 G 君说的十分有道理,于是再次强调了这些基本概念。
    最后,G 君听说这个题是作为 gift 送给大家,她有一句忠告。
    “Vorsicht, Gift!”
    “小心. . . . . . 剧毒!”

    【输入格式】

    第一行一个整数 \(n\)
    接下来 \(n\) 行,每行一个整数,这 \(n\) 行中的第 \(i\) 行,表示 \(a_i\)

    【输出格式】

    一行一个整数表示答案。

    【样例输入】

    4
    15
    7
    3
    1
    

    【样例输出】

    11
    

    【数据范围与提示】

    对于前 \(10\%\) 的测试点,\(n \leq 9, 1 \leq a_i \leq 13\)
    对于前 \(20\%\) 的测试点,\(n \leq 17, 1 \leq a_i \leq 20\)
    对于前 \(40\%\) 的测试点,\(n \leq 1911, 1 \leq a_i \leq 4000\)
    对于前 \(70\%\) 的测试点,\(n \leq 2017\)
    对于前 \(85\%\) 的测试点,\(n \leq 100084\)
    对于 \(100\%\) 的测试点,\(1 \leq n \leq 211985, 1 \leq a_i \leq 233333\)

    所有的 \(a_i\) 互不相同,也就是说不存在 \(i, j\) 同时满足 \(1 \leq i < j \leq n\)\(a_i = a_j\)


    做这题的前置知识是 Lucas 定理,可以先做一下这题

    我就当大家都会 Lucas 定理了awa。


    Lucas 定理:

    \[C^m_n\!\equiv\!C^{\left\lfloor\frac{m}{p}\right\rfloor}_{\left\lfloor\frac{n}{p}\right\rfloor}\times C^{m\mod p}_{n\mod p}\pmod{p} \]

    所以我们来看看原式:

    \[\prod_{i=2}^k \dbinom{a_{b_i}}{a_{b_{i-1}}}\!\mod 2 \]

    重点就在于 \(\!\mod 2\) 这个地方。

    由 Lucas 定理可知,原式的答案不是 0,就是 1。

    所以我们要保证 \(\forall \dbinom{a_{b_i}}{a_{b_{i-1}}} \equiv 1 \pmod 2\)

    又因为 \(\dbinom{0}{0}\)\(\dbinom{1}{0}\)\(\dbinom{1}{1}\) 为 1,\(\dbinom{0}{1}\) 为 0。

    根据 Lucas 定理,每次 \(\mod 2\) 相当于把 \(a_{b_i}\)\(a_{b_{i-1}}\) 二进制拆分,并且保证,\(a_{b_i}\) 为 0 的那个位上 \(a_{b_{i-1}}\) 不能为 1。

    \(a_{b_{i}}\!\And a_{b_{i-1}}\!=\!a_{b_i}\),我们设 \(f(i)\) 为以 \(i\) 开头的子序列数,枚举子集进行 dp 即可。

    \(p.s.\) 在最后累加的时候,要减去只有一个数的情况。

    代码如下:

    #include<bits/stdc++.h>
    #define rint register int
    using namespace std;
    inline int read(){
        int s=0,f=1;char c=getchar();
        while(c<'0'||c>'9'){if(c=='-')f=0;c=getchar();}
        while(c>='0'&&c<='9')s=(s<<1)+(s<<3)+c-48,c=getchar();
        return f?s:-s;
    }
    const int Mod=1e9+7;
    int n,a[300010],f[300010],ans;
    int main(){
        n=read();
        for(rint i=1;i<=n;++i) a[i]=read();
        for(rint i=n;i;--i){
            for(rint j=(a[i]-1)&a[i];j;j=(j-1)&a[i])
                f[a[i]]=(f[a[i]]+f[j])%Mod;
            f[a[i]]=(f[a[i]]+1)%Mod;
        }
        for(rint i=1;i<=n;++i) ans=(ans+f[a[i]]-1)%Mod;
        printf("%d",ans%Mod); 
        return 0;
    }
    

    没了awa。

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  • 原文地址:https://www.cnblogs.com/LCGUO/p/12468514.html
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