【题目描述】
平面上有 (N) 个城市。第 (i) 个城市的坐标为 ((x_i,y_i)) 。同一个坐标上可能有多个城市。在坐标为 ((a,b)) 的城市和坐标为 ((c,d)) 的城市间建造一条道路需要 (min(|a-c|,|b-d|)) 円。只能在城市与城市间建造道路。
要使任意两个城市之间有直接或间接道路相连，最少需要多少円？
【输入格式】
输入按以下形式：
[N
]
[x_1 space y_1
]
[x_2 space y_2
]
[:
]
[x_N space y_N
]
【输出格式】
请输出使任意两城市间有直接或间接道路连接所需最少钱数。
【样例输入输出】
【输入 #1】
3
1 5
3 9
7 8
【输出 #1】
3
【输入 #2】
6
8 3
4 9
12 19
18 1
13 5
7 6
【输出 #2】
8
【数据规模与约定】
- (2 leq N leq 10^5)
- (0 leq x_i,y_i leq 10^9)
- 输入全为整数
【样例 (1) 解释】
在城市 (1) 与城市 (2) 间建造一条道路，在城市 (2) 与城市 (3) 间建造一条道路，花费 (2+1=3) 円。
感谢 ( ext{zqy}) 大佬的思路
这题是一个巧妙的图论。
先讲讲我最开始的暴力思路，对于点 (i) 和点 (j)，我们在两点之间建一条长度为 (min(|x_i-x_j|,|y_i-y_j|)) 的边。
一共有 (n^2) 条边，用 Prim 求最小生成树，所以空间复杂度是 (O(n^2))，时间复杂度是 (O(n^2))，对于本题 (n leq 10^5) 的数据来说，卡卡常就过去了 是不可能过的。
正解思路是，对于点 (i) 和点 (j)，我们构造两条边，分别是 (|x_i-x_j|) 和 (|y_i-y_j|)。
对于点 (i)，(j)，(k)，如果存在 (x_i<x_j<x_k)，因为 ((x_j-x_i)+(x_k-x_j)=x_k-x_i)，所以 (i,k) 之间的代价为 (x_k-x_i) 的边不会出现在最小生成树中。
因此，我们只要将横纵坐标排个序，然后在相邻两个数之间建边，用 Kruskal 跑最小生成树就好了。
代码如下：
#include<bits/stdc++.h>
#define rint register long long
#define int long long
using namespace std;
inline int read(){
int s=0,f=1;char c=getchar();
while(c<'0'||c>'9'){if(c=='-')f=0;c=getchar();}
while(c>='0'&&c<='9')s=(s<<1)+(s<<3)+c-48,c=getchar();
return f?s:-s;
}
struct hhd{
int x,id,type;
friend bool operator < (hhd a,hhd b){
return a.x<b.x;
}
}a[100010],b[100010],c[200010];
int n,m,num,ans,cnt,fa[100010];
int get_fa(int x){
return x==fa[x]?x:fa[x]=get_fa(fa[x]);
}
void add_a(int p){
c[++num].x=a[p].x-a[p-1].x;
c[num].id=p-1; c[num].type=1;
}
void add_b(int p){
c[++num].x=b[p].x-b[p-1].x;
c[num].id=p-1; c[num].type=2;
}
void merge_a(int p){
int id=c[p].id;
int fa_x=get_fa(a[id].id),fa_y=get_fa(a[id+1].id);
if(fa_x==fa_y) return;
fa[fa_x]=fa_y; ans+=c[p].x;
++cnt;
}
void merge_b(int p){
int id=c[p].id;
int fa_x=get_fa(b[id].id),fa_y=get_fa(b[id+1].id);
if(fa_x==fa_y) return;
fa[fa_x]=fa_y; ans+=c[p].x;
++cnt;
}
signed main(){
n=read();
for(rint i=1;i<=n;++i){
a[i].x=read(); b[i].x=read();
a[i].id=b[i].id=i;
}
sort(a+1,a+n+1);
sort(b+1,b+n+1);
for(rint i=2;i<=n;++i) add_a(i),add_b(i);
sort(c+1,c+num+1);
for(rint i=1;i<=n;++i) fa[i]=i;
for(rint i=1;i<=num;++i){
if(c[i].type==1) merge_a(i);
else merge_b(i);
if(cnt==n-1)break;
}
printf("%lld
",ans);
return 0;
}
码风很丑，见谅